Để tính giá trị của \( A \), ta sẽ phân tích dãy số trong biểu thức.

Biểu thức có dạng:

\[
A = \frac{1}{2.4} + \frac{1}{4.6} + \frac{1}{6.8} + \ldots + \frac{1}{2020.2022}
\]

Các số ở mẫu số có thể được viết lại dưới dạng:

\[
2n, 4n, 6n, \ldots, 2020n
\]

Trong đó \( n \) có thể thay đổi từ 1 đến 1011 (tương ứng với \( 2 \times 1011 = 2022 \)).

Vì vậy, biểu thức trở thành:

\[
A = \sum_{n=1}^{1011} \frac{1}{(2n)(2n+2)} = \sum_{n=1}^{1011} \frac{1}{4n(n+1)}
\]

Áp dụng công thức phân tích thành phần hàm số, ta có:

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Vậy,

\[
A = \sum_{n=1}^{1011} \left( \frac{1}{4n} - \frac{1}{4(n+1)} \right)
\]

Khi tính toán tổng này, ta thấy rằng nó sẽ là chuỗi Telescoping, sẽ thu gọn lại như sau:

\[
A = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{1012} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1011}{1012} \right) = \frac{1011}{4048}
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{\frac{1011}{4048}}
\]