Để tính tổng \(S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 2012 + 20131 + 2 + 3 + \ldots + 2012 + 2013\), ta có thể chia nó thành hai phần:

1. Tổng từ \(1\) đến \(2012\).
2. Tổng từ \(2013\) đến \(20131\).

### Bước 1: Tính tổng từ \(1\) đến \(2012\)

Công thức tổng của các số nguyên dương liên tiếp từ \(1\) đến \(n\) là:
\[
S_n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]
Áp dụng cho \(n = 2012\):
\[
S_{2012} = \frac{2012 \times (2012 + 1)}{2} = \frac{2012 \times 2013}{2}
\]
Tính toán:
\[
2012 \times 2013 = 4046156
\]
Vì vậy:
\[
S_{2012} = \frac{4046156}{2} = 2023078
\]

### Bước 2: Tính tổng từ \(2013\) đến \(20131\)

Tổng các số từ \(1\) đến \(20131\) là:
\[
S_{20131} = \frac{20131 \times (20131 + 1)}{2} = \frac{20131 \times 20132}{2}
\]
Tính toán:
\[
20131 \times 20132 = 4052392112
\]
Vì vậy:
\[
S_{20131} = \frac{4052392112}{2} = 2026196056
\]

Do đó, tổng từ \(2013\) đến \(20131\) chính là \(S_{20131} - S_{2012}\):
\[
S_{2013 \text{ to } 20131} = 2026196056 - 2023078 = 2026175978
\]

### Bước 3: Tính tổng cuối cùng

Chúng ta hợp nhất tất cả các phần lại với nhau:
\[
S = S_{2012} + S_{2013 \text{ to } 20131} = 2023078 + 2026175978
\]
Tiến hành tính toán:
\[
S = 2023078 + 2026175978 = 2028199056
\]

Vậy kết quả là:
\[
\boxed{2028199056}
\]