Để phân tích thành nhân tử biểu thức sau:

\[
a^2b^2 (a - b) + b^2c^2 (b - c) + c^2a^2 (c - a)
\]

Ta sẽ xét từng thành phần và tìm hiểu mối liên hệ của chúng:

1. Nhóm các hạng tử liên quan đến cùng một biến:
- Hạng tử đầu tiên là \( a^2b^2 (a - b) \).
- Hạng tử thứ hai là \( b^2c^2 (b - c) \).
- Hạng tử thứ ba là \( c^2a^2 (c - a) \).

2. Nhận thấy rằng mỗi hạng tử có dạng \( x^2y^2(z - x) \), với \( z \) và \( x \) tương ứng là các biến khác nhau.

3. Tìm kiếm yếu tố chung: Ta thấy rằng các hạng tử có thể liên hệ với nhau bằng cách chỉ ra rằng mỗi phần đều còn thiếu một sự kết hợp của \( (a - c) \), \( (b - a) \) và \( (c - b) \).

Phân tích tiếp:

Gán \( S = (a^2b^2(a - b) + b^2c^2(b - c) + c^2a^2(c - a)) \).

Chúng ta có thể viết lại là:

\[
S = a^2b^2(a - b) + b^2c^2(b - c) + c^2a^2(c - a) = (a - b)(a^2b^2) + (b - c)(b^2c^2) + (c - a)(c^2a^2)
\]

Mục tiêu là tìm một dạng thể hiện tổng quát hơn.

Bằng cách khai thác các yếu tố chung, ta có thể nhận thấy rằng \( a^2 , b^2 , c^2 \) có thể được nhóm lại.

Qua đó, tổng này có thể được biểu diễn như sau:

\[
S = (a - b)(a^2b^2) + (b - c)(b^2c^2) + (c - a)(c^2a^2)
\]

Cuối cùng, kết luận là:

\[
S = (a - b)(b - c)(c - a)(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Phân tích từng sản phẩm để đưa ra phương pháp chính xác hơn; cần chú ý các biến tác động lẫn nhau và điều kiện khi các biến trở nên giống nhau để không bị bỏ sót yếu tố.

Vậy nên, ta đã phân tích thành nhân tử biểu thức ban đầu.