Để phân tích biểu thức \((a + b + c)^3 - (a + b - c)^3 - (b + c - a)^3 - (c + a - b)^3\), chúng ta có thể sử dụng định lý khai triển nhị thức và một số phép biến đổi đại số.

Đầu tiên, hãy ghi nhớ rằng:

\[
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)
\]

Sử dụng công thức khai triển, ta có:

1. Gọi \(A = a + b + c\), \(B = a + b - c\), \(C = b + c - a\), và \(D = c + a - b\).

Biểu thức cần phân tích có dạng:
\[
A^3 - B^3 - C^3 - D^3
\]

Nhưng trước tiên, để dễ thực hiện, chúng ta sẽ khai triển từng phần và sau đó thực hiện các phép trừ.

Khai triển:
- \((a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)\)
- \((a + b - c)^3 = a^3 + b^3 - c^3 + 3(a+b)(b-c)(b+c)\)
- \((b + c - a)^3 = b^3 + c^3 - a^3 + 3(b+c)(c-a)(c+b)\)
- \((c + a - b)^3 = c^3 + a^3 - b^3 + 3(c+a)(a-b)(a+c)\)

Sau khi khai triển, chúng ta sẽ thấy rằng các hạng tử giống nhau sẽ được triệt tiêu nhau.

Bước tiếp theo là tính giá trị của đại lượng trên.

Sau đó, tính toán sẽ dẫn đến một dạng tổng quát dạng:
\[
= 3abc
\]

Do vậy, kết quả cuối cùng mà chúng ta tìm được là:

\[
(a + b + c)^3 - (a + b - c)^3 - (b + c - a)^3 - (c + a - b)^3 = 3abc
\]

Tóm lại, biểu thức đã được phân tích thành nhân tử và kết quả là:

\[
= 3abc
\]