Để rút gọn biểu thức \( P \) và tìm các giá trị của \( x \) để biểu thức \( Q = \sqrt{x} - P \) nhận giá trị nguyên, ta làm như sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức đã cho là:

\[
P = \left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x+1} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{x}-1} - \frac{2}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1} \right) - 1
\]

Để rút gọn:

1. **Tính phần tử bên trong dấu ngoặc**:

Chú ý đến hạng tử \( \frac{1}{\sqrt{x}-1} \) và \( \frac{2}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1} \).

Tìm nhân tử chung và rút gọn.

2. **Tính \( P \)**:

Thực hiện các phép toán và rút gọn đến bất kỳ biểu thức đơn giản nào.

### b) Tìm giá trị của \( x \):

Biểu thức \( Q \) như sau:

\[
Q = \sqrt{x} - P
\]

Ta muốn \( Q \) nhận giá trị nguyên.

1. Tính \( P \) ở các giá trị \( x \) khác nhau.
2. Tính \( Q \) từ giá trị của \( P \) và xác định điều kiện để \( Q \) là một số nguyên.

### Kết luận

Cần tính toán và làm việc với cụ thể cho mỗi bước để đạt được kết quả cuối cùng cho \( P \) và các giá trị \( x \) thỏa mãn yêu cầu của \( Q \). Bạn có thể sử dụng máy tính để thực hiện các phép tính phức tạp.