Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn tổng các ước dương của p^3 là số chính phương

Để tìm các số nguyên tố \( p \) thỏa mãn điều kiện tổng các ước dương của \( p^3 \) là số chính phương, trước tiên, chúng ta cần xác định tổng các ước dương của số \( p^3 \).

Nếu \( p \) là số nguyên tố, các ước dương của \( p^3 \) là \( 1, p, p^2, p^3 \). Tổng các ước dương này có thể được tính như sau:

\[
\sigma(p^3) = 1 + p + p^2 + p^3
\]

Sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân, ta có:

\[
\sigma(p^3) = \frac{p^4 - 1}{p - 1}
\]

Ta cần tìm \( p \) sao cho \( \sigma(p^3) \) là một số chính phương.

Ta có:

\[
\sigma(p^3) = 1 + p + p^2 + p^3 = \frac{p^4 - 1}{p - 1}
\]

Để kiểm tra, ta sẽ xem xét một vài số nguyên tố nhỏ và tính tổng các ước dương của \( p^3 \):

1. Với \( p = 2 \):
\[
\sigma(2^3) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 \quad \text{(không phải số chính phương)}
\]

2. Với \( p = 3 \):
\[
\sigma(3^3) = 1 + 3 + 9 + 27 = 40 \quad \text{(không phải số chính phương)}
\]

3. Với \( p = 5 \):
\[
\sigma(5^3) = 1 + 5 + 25 + 125 = 156 \quad \text{(không phải số chính phương)}
\]

4. Với \( p = 7 \):
\[
\sigma(7^3) = 1 + 7 + 49 + 343 = 400 = 20^2 \quad \text{(là số chính phương)}
\]

5. Với \( p = 11 \):
\[
\sigma(11^3) = 1 + 11 + 121 + 1331 = 1464 \quad \text{(không phải số chính phương)}
\]

6. Với \( p = 13 \):
\[
\sigma(13^3) = 1 + 13 + 169 + 2197 = 2380 \quad \text{(không phải số chính phương)}
\]

7. Với \( p = 17 \):
\[
\sigma(17^3) = 1 + 17 + 289 + 4913 = 5220 \quad \text{(không phải số chính phương)}
\]

Và kiểm tra tiếp các số nguyên tố lớn hơn. Đến thời điểm này, chỉ có \( p = 7 \) thỏa mãn điều kiện mà tổng các ước dương của \( p^3 \) là số chính phương.

Kết luận, số nguyên tố \( p \) thỏa mãn điều kiện trên là:

\[
\boxed{7}
\]