Để tính độ dài BD trong hình thang cân ABCD, ta có thể sử dụng một số tính chất của hình thang và định lý Pythagore.

Trước hết, chúng ta có các thông tin sau:

- Đáy nhỏ AB = 4 cm
- Đáy lớn CD = 14 cm
- BC = 13 cm
- Hình thang ABCD là hình thang cân.

Do ABCD là hình thang cân nên các cạnh bên AD và BC có độ dài bằng nhau. Chúng ta cũng có AD = 13 cm.

Chúng ta có thể vẽ đường thẳng nối từ C và D xuống điểm E trên AB sao cho DE // AB và CE // AD. Bởi vì DE // AB, ta có thể tính chiều cao h của hình thang, và hình chữ nhật AEDC sẽ được tạo thành.

Từ đó, ta có thể tính độ dài đoạn AE và EB.

**Tính toán:**

Đường trung bình của hình thang \(m\) được tính bằng công thức:
\[
m = \frac{AB + CD}{2} = \frac{4 + 14}{2} = 9 \text{ cm}
\]

Chiều cao \(h\) của hình thang có thể tính bằng cách sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABE hoặc BCD.

Gọi \(h\) là chiều cao hình thang. Ta có:
\[
AD^2 = AE^2 + h^2
\]
\[
CD^2 = CE^2 + h^2
\]

Vì AB là đoạn phía bên trái, ta có:
\[
AE = \frac{AB + CD}{2} - \frac{AB}{2} = 9 - 2 = 7 \text{cm}
\]

Vậy:
\[
13^2 = 7^2 + h^2
\]
\[
169 = 49 + h^2
\]
\[
h^2 = 169 - 49 = 120 \implies h = \sqrt{120} = 2\sqrt{30} \text{ cm}
\]

Bây giờ chúng ta có thể tính BD bằng cách sử dụng tam giác BCD.

Gọi \(D\) là điểm dưới cùng của chiều cao. Ta cũng có thể dễ dàng tính \(BD\) bằng cách sử dụng hằng số chiều cao và hình chữ nhật.
Từ đó, ta cũng có thể kết luận rằng BD bằng BC vì chúng là cạnh bên và có cùng chiều dài trong hình thang cân.

Hoặc cách tính của tam giác vuông có tính chất sau:
\[
BD^2 = h^2 + ED^2 = 120 + 5^2 = 120 + 25 = 145 \Rightarrow BD = \sqrt{145} = 12.04 \text{ cm}
\]

Vậy độ dài BD là:
\[
BD = \sqrt{145} \text{ cm} \approx 12.04 \text{ cm}
\]

Tóm lại, độ dài \(BD\) khoảng \(12.04 \text{ cm}\).