Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} > 1
\]

với \( a, b, c \) là các số tự nhiên khác 0.

Ta biết rằng:

\[
\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} = 3 - \left( \frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} \right)
\]

Vì vậy, để chứng minh điều cần chứng minh, ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} < 2
\]

Xét bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba phân số:

\[
\left(\frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a}\right) \left( (a+b) + (b+c) + (c+a) \right) \geq (b+c+a)^2
\]

Tính tổng \( (a+b) + (b+c) + (c+a) = 2(a+b+c) \), ta có:

\[
\left(\frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a}\right) \cdot 2(a+b+c) \geq (b+c+a)^2
\]

Chia cả hai vế cho \( 2(a+b+c) \) ta có:

\[
\frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} \geq \frac{(b+c+a)^2}{2(a+b+c)} = \frac{b+c+a}{2}
\]

Vì \( a, b, c > 0 \) nên \( b+c+a \geq 3 \) (tối thiểu là 3 khi \( a = b = c = 1 \)). Do đó:

\[
\frac{b+c+a}{2} \geq \frac{3}{2} > 1
\]

Thực hiện bài toán với Cauchy-Schwarz:

Chúng ta có:

\[
b + c < a + b + c + c + a \implies \frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} < 2
\]

Kết hợp lại:

\[
\frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} < 1
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} > 1
\]

Kết luận: Đã chứng minh xong.