Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành các bước chứng minh theo từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác \( ABC \cong \) tam giác \( ANM \)

- **Đối chiếu các yếu tố:**
- \( AM = AB \) (do điều kiện đã cho).
- Góc \( A \) chung cho cả hai tam giác.
- Góc \( ANM = \angle ABC \) do đường thẳng \( MN \) song song với \( BC \) nên hai góc đồng vị này bằng nhau.

Từ 3 yếu tố trên, chúng ta có:

\[
\triangle ABC \cong \triangle ANM \quad \text{(c.g.c)}
\]

### b) Chứng minh \( BN = CM \)

- **Sử dụng đặc điểm của tam giác đồng dạng:**
- Vì \( \triangle ABC \cong \triangle ANM \), chúng ta có \( \frac{AB}{AM} = \frac{BC}{NM} = \frac{AC}{AN} \).
- Theo định nghĩa của \( AM = AB \), ta có \( \frac{AB}{AB} = 1 \) cho nên \( \frac{BC}{NM} = 1 \) và \( \frac{AC}{AN} = 1 \) cũng có nghĩa là \( BC = NM \).
- Do đó, trong tam giác \( ANM \), \( BN = NM \).

Vì MN song song với BC, \( BN = CM \).

### c) Chứng minh \( A, E, F \) thẳng hàng

- **Điểm \( E \) là trung điểm của \( BN \), và \( F \) là trung điểm của \( CM \):**
- Từ chứng minh ở phần b), \( BN = CM \).
- Gọi trọng tâm và trung điểm của đoạn thẳng lần lượt là \( E = \frac{B+N}{2} \) và \( F = \frac{C+M}{2} \).
- Vì \( N, M \) nằm trên một đường thẳng song song và \( B, C \) cũng nằm trên một đường thẳng canh.

Vì \( E \) nằm giữa \( B \) và \( N \) và \( F \) nằm giữa \( C \) và \( M \), do đó các điểm này sẽ nằm trên một đường thẳng.

Kết luận: \( A, E, F \) thẳng hàng.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong các yêu cầu trong bài toán.