Để chứng minh rằng các điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính đường tròn đó, ta thực hiện như sau:

**Bước 1: Chứng minh các điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn**

Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có:
- \( AB = 3 \) cm
- \( AC = 4 \) cm

Theo định lý Pythagore, độ dài cạnh huyền \( BC \) sẽ được tính như sau:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]

Tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Theo định lý đường tròn ngoại tiếp, một tam giác vuông có đường tròn ngoại tiếp với bán kính bằng nửa độ dài cạnh huyền. Do đó, điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn.

**Bước 2: Tính bán kính của đường tròn**

Bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC là:

\[
R = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \, \text{cm}
\]

**Kết luận:**
Các điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn và bán kính của đường tròn đó là \( 2.5 \) cm.