Để phân tích biểu thức \(x^8 + x^4 + 1\), chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp biến đổi đại số.

Đầu tiên, hãy đặt \(y = x^4\). Khi đó, biểu thức trở thành:

\[
y^2 + y + 1
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích biểu thức \(y^2 + y + 1\). Để phân tích, chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc nhận diện rằng \(y^2 + y + 1\) là một đa thức không thể phân tích thành các nhân tử trong tập hợp số thực. Tuy nhiên, nó có thể được phân tích trong tập hợp số phức.

Biểu thức này có thể được phân tích thành:

\[
y^2 + y + 1 = \frac{y^3 - 1}{y - 1}
\]

với điều kiện \(y \neq 1\), và có nghiệm là:

\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
\]

Chúng ta có thể viết lại:

\[
y^2 + y + 1 = \left(y - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\right) \left(y - \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\right)
\]

Thay lại \(y = x^4\), ta có:

\[
x^8 + x^4 + 1 = \left(x^4 - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\right) \left(x^4 - \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\right)
\]

Vì vậy, một cách tổng quát để viết biểu thức là:

\[
x^8 + x^4 + 1 = (x^4 - \omega)(x^4 - \omega^2)
\]

Trong đó \(\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\) và \(\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\).

Kết luận, biểu thức \(x^8 + x^4 + 1\) có thể được phân tích thành nhân tử như trên nhưng không thể phân tích thành nhân tử trong tập số thực.