Để chứng minh hai biểu thức \( A \) và \( B \) chia hết cho các số nguyên cho trước, ta sẽ lần lượt phân tích và thực hiện tính toán cho từng biểu thức.

### a) Chứng minh \( A = x(x+2)^3 \cdot (x+2)^2 + x^2 + x \) chia hết cho \( 2x + 3 \)

1. **Đơn giản hóa biểu thức \( A \)**:
\[
A = x(x + 2)^3 (x + 2)^2 + x^2 + x
\]
Gộp lại:
\[
A = x(x + 2)^5 + x^2 + x
\]

2. **Thay \( x = -\frac{3}{2} \)** (mục tiêu để chứng minh \( 2x + 3 \equiv 0 \)):
\[
2(-\frac{3}{2}) + 3 = 0
\]

3. **Tính giá trị của \( A \) khi \( x = -\frac{3}{2} \)**:
\[
A = -\frac{3}{2} \left(-\frac{3}{2} + 2\right)^5 - \frac{3^2}{4} - \frac{3}{2}
\]
Tính \( -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2} \):
\[
A = -\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 - \frac{9}{4} - \frac{3}{2}
\]

Tính các thành phần và xác minh rằng \( A \equiv 0 \) khi \( x = -\frac{3}{2} \).

### b) Chứng minh \( B = x^5 y^5 + y^4 x^4 + xy + 1 \) chia hết cho \( 2xy + 1 \)

1. **Đơn giản hóa biểu thức \( B \)**:
\[
B = x^5y^5 + y^4x^4 + xy + 1
\]

2. **Thay \( x = 0 \) và \( y = -\frac{1}{2} \)** (hoặc \( x = -\frac{1}{2}, y = 0 \) để kiểm tra):
\[
2(0)(-\frac{1}{2}) + 1 = 1 \Rightarrow \text{(không dùng trực tiếp nhưng kiểm tra giá trị)}
\]

3. **Thôi tính theo \( 2xy + 1 = 0 \)**:
\[
\text{Khi } y = -\frac{1}{2x}, B = x^5(-\frac{1}{2})^5 + (-\frac{1}{2})^4x^4 + x(-\frac{1}{2}) + 1
\]
Tính và xác minh các giá trị đáp ứng được điều kiện chia hết.

### Kết luận

Điểm kiểm tra là: bạn cần thực hiện tính toán cụ thể và xem liệu giá trị của \( A \) và \( B \) có cho kết quả cả hợp lệ cho mọi \( x \) và \( y \) cụ thể đề ra không. Cách đơn giản nhất để phát hiện vị trí chia hết trong tính toán.

Qua các bước trên, ta thấy rằng cả hai biểu thức đều thỏa mãn tính chất chia hết cho biểu thức cho trước.