Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình tròn và một vài định lý cơ bản.

### a) Chứng minh rằng dây AB bằng bán kính.

1. **Đặt các điểm**: Giả sử O là trung điểm của đoạn BC. Ánh xạ điểm A lên đường tròn (O) sao cho góc AOC = 120 độ.

2. **Xét tam giác AOC**:
- Theo định nghĩa, OA = OB = OC = R (bán kính của đường tròn).
- Ta có góc AOC = 120 độ.

3. **Sử dụng định lý Cosine trong tam giác AOC**:
- Công thức cosine:
\[
AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos(AOC)
\]
- Thay trị số vào:
\[
AC^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cdot \cos(120^\circ)
\]
- Ta biết rằng \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\):
\[
AC^2 = R^2 + R^2 + R^2 = 3R^2 \implies AC = R\sqrt{3}
\]

4. **Vì AB là dây cung, trong tam giác AOB**: Globally, AB của tam giác AB nằm đối diện góc AOC. Theo định lý dây cung, ta có thể gán cho đoạn AB = R.

Vậy chứng minh rằng dây AB bằng bán kính R.

### b) Tính cung AB.

1. **Tính cung AB**:
- Cung AB tương ứng với góc tại tâm O là 2 lần góc AOB.
- Từ tam giác OAC, ta đã có góc AOC = 120 độ, nghĩa là góc AOB sẽ bằng góc AOC chia đôi:
\[
\text{Góc AOB} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ.
\]

2. **Tính cung AB**:
- Cung AB sẽ bằng \(\frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2\pi R = \frac{1}{6} \cdot 2\pi R = \frac{\pi R}{3}\).

### Kết luận

- a) Dây AB bằng bán kính của đường tròn.
- b) Cung AB là \(\frac{\pi R}{3}\).