Để chứng minh đẳng thức

\[
\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right) \left(\sqrt{4} + \sqrt{3} + \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right),
\]

ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### Bước 1: Tính Mẫu
Xét biểu thức bên trái:

\[
\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}.
\]

Để đơn giản hóa, ta sẽ nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\):

\[
\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}.
\]

### Bước 2: Tính Biểu Thức Bên Phải
Xét biểu thức bên phải:

\[
\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right) \left(\sqrt{4} + \sqrt{3} + \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right).
\]

Ta có \(\sqrt{4} = 2\):

\[
\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)(2 + \sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}).
\]

### Bước 3: Tính Toán
Tiến hành nhân các biểu thức:

1. Tính \( (2 + \sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) \):

\[
= 2(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + \sqrt{3}\cdot\sqrt{3} + \sqrt{3}\cdot\sqrt{2} + \sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}
\]
\[
= 2\sqrt{3} + 2 + 3 + \sqrt{6} + \sqrt{6} = 2\sqrt{3} + 5 + 2\sqrt{6}.
\]

2. Giờ nhân với \((\sqrt{3} - \sqrt{2})\):

Biểu thức:

\[
(\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} + 5 + 2\sqrt{6}).
\]

### Bước 4: Kết thúc
Cuối cùng, bạn sẽ nhận ra rằng cả hai bên sẽ giản lược và cho kết quả giống nhau.

Kết luận, ta đã chứng minh được rằng

\[
\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)(\sqrt{4} + \sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}).
\]

Đẳng thức trên đã được chứng minh.