Để phân tích thành nhân tử biểu thức \( X^2 + \frac{1}{2}X + \frac{1}{16}X^2 + \frac{1}{2}X + \frac{1}{16} \), trước tiên chúng ta hợp nhất các hạng tử lại với nhau.

Biểu thức này có thể sắp xếp như sau:

\[
X^2 + \frac{1}{16}X^2 + \frac{1}{2}X + \frac{1}{2}X + \frac{1}{16}
\]

Kết hợp các hạng tử lại:

\[
\left(1 + \frac{1}{16}\right)X^2 + ( \frac{1}{2} + \frac{1}{2})X + \frac{1}{16}
\]

Tính toán các hệ số:

\[
1 + \frac{1}{16} = \frac{16}{16} + \frac{1}{16} = \frac{17}{16}
\]

\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\]

Như vậy, biểu thức trở thành:

\[
\frac{17}{16}X^2 + 1X + \frac{1}{16}
\]

Bây giờ, ta có biểu thức là:

\[
\frac{17}{16}X^2 + X + \frac{1}{16}
\]

Tiếp tục, để tiện cho việc phân tích thành nhân tử, nhân cả biểu thức với 16 để loại bỏ mẫu số:

\[
17X^2 + 16X + 1
\]

Chúng ta sẽ phân tích thành nhân tử biểu thức \( 17X^2 + 16X + 1 \). Tìm các số a, b sao cho:

- \(ab = 17 \cdot 1 = 17\)
- \(a + b = 16\)

Hai số này là \(1\) và \(17\). Do đó, chúng ta có thể viết lại biểu thức:

\[
17X^2 + 16X + 1 = (17X + 1)(X + 1)
\]

Bây giờ, có thể đưa ra biểu thức ban đầu:

\[
\frac{1}{16} (17X + 1)(16X + 1)
\]

Vậy, biểu thức \( X^2 + \frac{1}{2}X + \frac{1}{16}X^2 + \frac{1}{2}X + \frac{1}{16} \) có thể được phân tích thành nhân tử là:

\[
\frac{1}{16} (17X + 1)(16X + 1)
\]