Để chứng minh bốn điểm \( A \), \( B \), \( D \), và \( H \) cùng nằm trên một đường tròn, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của trực tâm và các đường cao trong tam giác.

Trong tam giác \( ABC \):

- \( AH \) là đường cao từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- \( BD \) là đường cao từ đỉnh \( B \) xuống cạnh \( AC \).

Khi đó, \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \) (tức là giao điểm của ba đường cao của tam giác).

**Chứng minh:**

Ta biết rằng góc \( AHB \) (góc ở \( H \) giữa hai cạnh \( AH \) và \( BH \)) sẽ bằng \( 90^\circ \) vì \( AH \) là đường cao hạ từ \( A \) và \( BH \) là đường cao hạ từ \( B \). Tương tự, góc \( ADB \) (góc ở \( D \) giữa hai cạnh \( AD \) và \( BD \)) cũng sẽ bằng \( 90^\circ \) vì \( AD \) là cạnh nối từ \( A \) đến cạnh tiếp tuyến từ \( B \) (tức là \( BD \) cũng hạ từ \( B \) xuống cạnh \( AC \)).

Do hai góc này đều bằng \( 90^\circ \), ta có hai cặp góc vuông:

- \( \angle AHB = 90^\circ \)
- \( \angle ADB = 90^\circ \)

Từ đó, theo tính chất của đường tròn, điểm \( A \), \( B \), \( D \), và \( H \) sẽ thuộc về một đường tròn với đường kính là \( AB \) (hoặc \( AD \)). Do đó, bốn điểm \( A \), \( D \), \( H \), và \( B \) nằm trên một đường tròn.

**Kết luận:**
Bằng cách lập luận qua các góc vuông được tạo thành từ các đường cao, chúng ta đã chứng minh rằng bốn điểm \( A \), \( D \), \( H \), và \( B \) cùng nằm trên một đường tròn.