Để tính góc \( \angle ADB \) trong tam giác cân \( ABC \) với đỉnh là \( A \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và các thông tin đã cho.

1. Vì tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), ta có \( AB = AC \).

2. Đường cao \( AH \) và đường phân giác \( BD \) chia \( ABC \) thành hai tam giác con \( ABD \) và \( ACD \) bằng nhau, tức là \( \angle ABD = \angle ACD \).

3. Từ \( AH \) là đường cao, ta biết \( \angle AHB = 90^\circ \).

4. Ta cũng đã biết rằng \( \angle AHD = 45^\circ \).

### Tính toán:

Từ \( \triangle AHD \):
- \( \angle AHB = 90^\circ - \angle AHD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
- Như vậy, trong tam giác \( AHB \), ta có:
\[
\angle ADB + \angle ABD = 45^\circ
\]

5. Do chính xác đây là một tam giác cân với đường phân giác \( BD \), ta có:
\[
\angle ABD = \angle ABC / 2
\]
- Điều này có nghĩa là \( \angle ABD = \angle ACD \).

### Tính góc \( \angle ADB \):
Vì tam giác \( ABD \) và \( ACD \) cân, ta có thể viết:
- \( \angle ADB + \angle ABD = 90^\circ - \angle ABD = 45^\circ \)

Bây giờ, ta có thể suy ra:
\[
\angle ADB = 45^\circ - \angle ABD
\]

6. Với thông tin góc \( AHD = 45^\circ \) và phương trình bên trên, ta có thể rút ra:
- Thay thế \( \angle ABD \) vào phương trình ta đã có.
- Sau khi tính toán, ta tìm thấy rằng:
\[
\angle ADB = 45^\circ
\]

Vì vậy, \( \angle ADB \) bằng \( 45^\circ \).

### Kết luận:
\[
\angle ADB = 45^\circ.
\]