Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về trọng tâm, trung điểm, và cách xây dựng điểm trong hình học. Dưới đây là quá trình giải quyết các yêu cầu trong bài toán:

### a) Chứng minh \( MD = MG \)

- Theo định nghĩa, \( G \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \). Trọng tâm \( G \) được hình thành từ các giao điểm của các trung tuyến của tam giác. Một trong những tính chất của trọng tâm là nó chia mỗi trung tuyến thành hai phần với tỷ lệ 2:1, gần với đỉnh của tam giác.

- \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \). Do đó, \( MG \) được tính bằng độ dài từ \( M \) đến \( G \).

- Việc xây dựng điểm \( D \) trên tia đối của tia \( MG \) với \( MD = MG \) có nghĩa là \( D \) cũng nằm ở khoảng cách bằng \( MG \) từ \( M \), nhưng theo hướng ngược lại.

### b) Chứng minh \( BG \) song song với \( CD \)

- Để chứng minh \( BG \) song song với \( CD \), ta có thể sử dụng định lý về các đoạn thẳng song song trong tam giác.

- Đầu tiên, nhận thấy rằng \( G \) là trọng tâm, do đó điểm \( G \) chia \( AM \) theo tỷ lệ 2:1, với \( A \) là đỉnh của tam giác và \( M \) là trung điểm của \( BC \).

- Hơn nữa, từ việc dựng điểm \( D \), có thể nói rằng \( MD \) nằm trên đường thẳng nối \( M \) và \( D \), và với \( MD = MG \), ta có thể sử dụng định lý Tam giác tương tự hoặc quy tắc song song.

### c) Nhận xét về điểm \( A \) và \( F \)

- Khi gọi \( I \) là trung điểm của \( BD \), \( A \) và \( F \) sẽ có thể được xây dựng và xác định để minh chứng cho các tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác.

### d) Phân số của đoạn thẳng \( AB \) và \( D \)

- Cuối cùng, để xác định phân số đoạn thẳng giữa \( AB \) và \( BC \), ta sẽ xác định các tỷ lệ theo các phần đã chứng minh ở trên.

Hy vọng rằng các bước này có thể giúp bạn tiến gần hơn đến việc hoàn thành bài toán. Nếu cần clarification cho từng bước, bạn có thể hỏi thêm.