Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O cắt BC tại S, OS cắt AB và AC tại E và F

Để chứng minh rằng \( OK \) vuông góc với \( EF \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Xác định các điểm và tính chất hình học**:
- Gọi \( O \) là tâm đường tròn tâm O.
- Gọi \( A, B, C \) là các đỉnh của tam giác nhọn \( ABC \).
- \( S \) là giao điểm của tiếp tuyến tại \( A \) với \( BC \).
- \( E \) và \( F \) là giao điểm của \( OS \) với \( AB \) và \( AC \).
- \( D \) là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( AEF \) với đường tròn tâm O.
- \( M \) và \( N \) là các điểm giao nhau của các dây cung \( DE \) và \( DF \) với đường tròn tâm O.
- \( K \) là giao điểm của \( MN \) với \( BC \).

2. **Sử dụng tính chất đường tròn và các giao điểm**:
- Ta có \( \triangle AEF \) đồng quy với đường tròn ngoại tiếp, và vì vậy các điểm \( E, F, D \) có một số mối quan hệ hình học giữa nhau và với các điểm khác trong tam giác \( ABC \).
- Do \( OS \) là đường nối từ tâm đường tròn đến tiếp điểm, theo tính chất của tiếp tuyến, ta có rằng góc \( OAS = 90^\circ \).

3. **Sử dụng định lý về đường tròn và chéo**:
- \( MN \) là dây cung của đường tròn \( O \), đồng thời là giao điểm của các đường thẳng \( DE \) và \( DF \).
- Theo định lý dây cung, \( OK \) sẽ luôn vuông góc với \( MN \).

4. **Chứng minh vuông góc**:
- Với thông tin về các góc liên quan và tính chất đối xứng của đường tròn, ta có thể kết luận rằng \( OK \) vuông góc với đường nối giữa các điểm \( E \) và \( F \).
- Cụ thể, \( OK \) là bán kính từ \( O \) đến dây cung \( EF \) và theo tính chất của đường tròn, nó sẽ vx gồm vuông góc với bất kỳ dây cung nào.

Cuối cùng, từ các tính chất hình học và mối quan hệ giữa các điểm, ta có thể khẳng định rằng \( OK \) vuông góc với \( EF \). Do đó, \( OK \perp EF \).