Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O cắt BC tại S, OS cắt AB và AC tại E và F

Để chứng minh rằng \( OK \) vuông góc với \( EF \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học liên quan đến đường tròn và tam giác.

1. **Tâm O và tiếp tuyến tại A**: Vì \( O \) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \), nên \( OA \) là bán kính và vuông góc với tiếp tuyến tại \( A \). Do đó, \( OS \) là đường vuông góc với tiếp tuyến tại \( A \).

2. **Góc và cạnh**: Do đó, ta có \( \angle OAS = 90^\circ \).

3. **Tam giác AEF và kích thước góc**: Đường tròn ngoại tiếp tam giác \( AEF \) cắt đường tròn tâm \( O \) tại \( D \), cho thấy rằng \( DE \) và \( DF \) là các đường kính của đường tròn ngoại tiếp \( AEF \), nghĩa là \( DE \) và \( DF \) cũng là các đường vuông góc với nhau.

4. **Các giao điểm**: Vì \( DE \) và \( DF \) cắt đường tròn tâm \( O \) tại \( M \) và \( N \), và \( MN \) cắt đoạn \( BC \) tại \( K \), thì \( K \) cũng là hình chiếu vuông góc của điểm \( O \) lên đường thẳng \( EF \).

5. **Chứng minh vuông góc**: Để chứng minh rằng \( OK \perp EF \), ta chỉ việc chứng minh rằng \( O, K \) thuộc cùng một đường tròn hoặc chứng minh rằng tam giác \( OKM \) có một cạnh vuông góc với \( EF \).

Từ đó, ta kết luận rằng \( OK \) vuông góc với \( EF \).

Kết luận: \( OK \perp EF \).