Để chứng minh rằng tồn tại số có dạng \(111\dots1\) (n số 1 liên tiếp) chia hết cho 37, trước tiên ta cần hiểu cách biểu diễn số có dạng này.

Số đó có thể được biểu diễn là:

\[
N = \underbrace{111\dots1}_{n \text{ số 1}} = \frac{10^n - 1}{9}
\]

Chúng ta cần chứng minh rằng tồn tại một giá trị \(n\) sao cho \(N\) chia hết cho 37. Điều này tương đương với việc chứng minh rằng \(10^n - 1\) chia hết cho \(333\) (vì \(333 = 37 \times 9\)).

Từ đó, ta sẽ kiểm tra xem \(10^n \equiv 1 \mod 37\).

Dùng định lý Fermat, vì 37 là số nguyên tố, nên:

\[
10^{36} \equiv 1 \mod 37
\]

Tức là bậc nhỏ nhất \(n\) mà \(10^n \equiv 1 \mod 37\) sẽ là 36 (do 36 là số nguyên tố và không có ước số nhỏ hơn). Do đó, tất cả những \(n\) là bội số của 36 sẽ thỏa mãn điều kiện này.

Vì vậy, với các giá trị \(n = 36, 72, 108, \ldots\), số \(N = \frac{10^n - 1}{9}\) sẽ chia hết cho 37.

Kết luận, tồn tại số có dạng \(111\dots1\) với \(n\) là bội số của 36 và số n đó sẽ chia hết cho 37.