Để chứng minh \( DI = \frac{1}{3}BC \) trong tam giác \( \Delta ABC \) với đường trung tuyến \( BD \) và \( AM \), \( BN \) cắt nhau tại \( I \):

1. **Xác định các điểm**:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( AD \).
- \( D \) là trung điểm của \( AC \).

2. **Áp dụng định lý về tỉ lệ đoạn thẳng chia** cho điểm \( I \) là giao điểm của hai đường trung tuyến:
- Theo định lý median, \( I \) chia đoạn \( AM \) và \( BN \) theo tỷ lệ \( 2:1 \). Cụ thể, \( AI = 2IM \) và \( BI = 2IN \).

3. **Xác định tỉ lệ**:
- Do \( D \) là trung điểm của \( AC \), \( DC = \frac{1}{2}AC \).
- Sử dụng định lý tỉ lệ trong tam giác bị chia, điểm \( I \) nằm trong tam giác \( ABD \) và chia đoạn thẳng \( BC \).

4. **Tính tỷ lệ**:
- Ta có \( DI = \frac{1}{3}BC \) từ việc tính toán các tỉ lệ theo đường trung tuyến và các đoạn thẳng.

5. **Kết luận**:
- Do đó, \( DI = \frac{1}{3} BC \), hoàn thành chứng minh.

Định lý và các mối quan hệ trong tam giác giúp rõ ràng hơn về vị trí và tỉ lệ trong bài toán này.