Để giải bài toán này, chúng ta sẽ ký hiệu các số hạng của cấp số cộng.

Giả sử số hạng đầu là \( u_1 = a \) và công sai là \( d \). Khi đó, các số hạng trong cấp số cộng có thể được biểu diễn như sau:

- \( u_2 = a + d \)
- \( u_3 = a + 2d \)
- \( u_4 = a + 3d \)
- \( u_5 = a + 4d \)
- \( u_6 = a + 5d \)
- \( u_7 = a + 6d \)
- \( u_8 = a + 7d \)
- \( u_9 = a + 8d \)
- \( u_{10} = a + 9d \)
- \( u_{11} = a + 10d \)
- \( u_{12} = a + 11d \)
- \( u_{20} = a + 19d \)

Theo đề bài, ta có các điều kiện sau:
1. \( -u_3 + u_7 = 8 \)
2. \( u_2 \cdot u_7 = 75 \)

**Bước 1**: Giải phương trình từ điều kiện 1.
\[
-u_3 + u_7 = 8 \implies -(a + 2d) + (a + 6d) = 8
\]
\[
-a - 2d + a + 6d = 8 \implies 4d = 8 \implies d = 2
\]

**Bước 2**: Thay \( d \) vào các số hạng.

Như vậy, chúng ta có:
- \( u_3 = a + 4 \)
- \( u_7 = a + 12 \)

**Bước 3**: Giải phương trình từ điều kiện 2.
\[
u_2 \cdot u_7 = (a + 2)(a + 12) = 75
\]
Mở rộng biểu thức:
\[
a^2 + 12a + 2a + 24 = 75 \implies a^2 + 14a + 24 - 75 = 0 \implies a^2 + 14a - 51 = 0
\]

**Bước 4**: Giải phương trình bậc hai này.
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 204}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{400}}{2}
\]
\[
= \frac{-14 \pm 20}{2}
\]
Ta có hai nghiệm:
1. \( a = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( a = \frac{-34}{2} = -17 \) (không khả thi vì cấp số cộng thường không có số hạng âm)

Như vậy, \( a = 3 \) và \( d = 2 \) là giá trị hợp lệ.

**Bước 5**: Kết luận.
Số hạng đầu \( u_1 = a = 3 \) và công sai \( d = 2 \).

Vậy:
- Số hạng đầu là \( 3 \)
- Công sai là \( 2 \)