Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đặt biến**: Gọi chiều rộng của miếng tôn là \( w \) (dm). Do chiều dài gấp đôi chiều rộng, nên chiều dài sẽ là \( l = 2w \) (dm).

2. **Thông tin về thùng**: Sau khi cắt 4 hình vuông có cạnh 5 dm ở mỗi góc, chiều rộng và chiều dài của thùng sẽ lần lượt là:
- Chiều rộng của thùng: \( w - 2 \cdot 5 = w - 10 \) (dm)
- Chiều dài của thùng: \( 2w - 2 \cdot 5 = 2w - 10 \) (dm)
- Chiều cao của thùng là cạnh của hình vuông đã cắt: \( 5 \) dm.

3. **Tính dung tích**: Dung tích của thùng được cho là \( 1500 \, \text{dm}^3 \). Ta có công thức tính dung tích thùng chữ nhật như sau:
\[
V = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} \times \text{Chiều cao}
\]
Thay các giá trị vào công thức:
\[
1500 = (2w - 10)(w - 10) \cdot 5
\]
Rút gọn phương trình trên:
\[
1500 = 5(2w - 10)(w - 10)
\]
Chia cả hai vế cho 5:
\[
300 = (2w - 10)(w - 10)
\]
Mở dấu ngoặc:
\[
300 = 2w^2 - 20w - 10w + 100
\]
\[
300 = 2w^2 - 30w + 100
\]
Đưa tất cả về một phía:
\[
2w^2 - 30w + 100 - 300 = 0
\]
\[
2w^2 - 30w - 200 = 0
\]
Chia cả phương trình cho 2:
\[
w^2 - 15w - 100 = 0
\]

4. **Giải phương trình bậc hai**: Sử dụng công thức nghiệm \( w = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
- \( a = 1, b = -15, c = -100 \):
\[
w = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
w = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 400}}{2}
\]
\[
w = \frac{15 \pm \sqrt{625}}{2}
\]
\[
w = \frac{15 \pm 25}{2}
\]
Nghiệm sẽ là:
\[
w = \frac{40}{2} = 20 \quad \text{(nghiệm dương)}
\]
\[
w = \frac{-10}{2} = -5 \quad \text{(không hợp lệ)}
\]

5. **Chiều dài miếng tôn**: Từ \( w = 20 \) dm, ta tính chiều dài:
\[
l = 2w = 2 \cdot 20 = 40 \, \text{dm}
\]

6. **Tính diện tích**: Diện tích \( S \) của miếng tôn ban đầu sẽ là:
\[
S = l \times w = 40 \cdot 20 = 800 \, \text{dm}^2
\]

Vậy diện tích của miếng tôn ban đầu là **800 dm²**.