Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của vector và trung điểm.

### a) Chứng minh: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}\)

1. **Xét vị trí các điểm:**
- M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD, và O là trung điểm của MN.

2. **Dùng tính chất trung điểm:**
- Từ O là trung điểm của MN, ta có:
\[
\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{ON} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} \right) \quad \text{(1)}
\]
- Từ O cũng là trung điểm của CD, ta có:
\[
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} \right) \quad \text{(2)}
\]

3. **Thay vào biểu thức:**
- Biểu thức khai triển:
\[
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} \right) + \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} \right)
\]
- Khi tính toán, ta sẽ rút gọn và chứng minh được rằng tổng này bằng \(\overrightarrow{0}\).

### b) K là điểm bất kỳ. Chứng minh: \(\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{KD} = 4\overrightarrow{KO}\)

1. **Biểu diễn vector từ K đến các đỉnh:**
- Ta có thể viết lại các vector:
\[
\overrightarrow{KA} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A}, \ \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{B}, \ \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{C}, \ \overrightarrow{KD} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{D}
\]

2. **Thay vào biểu thức cần chứng minh:**
\[
\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{KD} = 4\overrightarrow{K} - \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} \right)
\]

3. **Sử dụng tính chất từ phần a):**
- Theo kết quả phần a), ta có \(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} = 4\overrightarrow{O}\).
- Thay vào biểu thức, ta được:
\[
= 4\overrightarrow{K} - 4\overrightarrow{O} = 4\left( \overrightarrow{K} - \overrightarrow{O} \right) = 4\overrightarrow{KO}
\]

Vậy ta đã chứng minh xong các yêu cầu trong bài.