Để chứng minh và tính toán theo yêu cầu, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các định lý liên quan đến đường trung tuyến.

**Chứng minh:**

1. **Chứng minh \( AB = DC \)** và **\( AB \parallel BC \)**:
- Vì \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \), nên \( MB = MC \).
- Theo thông tin bài toán, \( MA = MD \) và \( D \) nằm trên tia đối của tia \( MA \).
- Do đó, trong tam giác \( ABD \):
- \( AB = AM + MB \) (từ điểm A đến B qua M)
- \( DC = DM + MC \) (từ điểm D đến C qua M)
- Vì \( MA = MD \) nên \( AB = DC \).
- Xét lực của các đoạn thẳng \( AB \) và \( DC \):
- Trong tam giác vuông tại A, với \( M \) là trung điểm, \( AB \) và \( DC \) nằm trên hai cạnh tương đối parallel của tam giác vuông, do đó, \( AB \parallel DC \).

2. **Tính góc** \( \angle ABD \):
- Chúng ta biết rằng trong tam giác vuông \( ABC \) tại A, các góc \( A \), \( B \), và \( C \) có liên quan đến nhau.
- Trong trường hợp này, \( \angle A = 90^\circ \).
- Sử dụng tính chất của đường trung tuyến \( MA \) và tính chất của tam giác đối xứng có thể thấy rằng:
- Xuất phát từ điểm B và D, góc \( \angle ABD \) sẽ bằng góc \( \angle MAB \). Do tính đối xứng, \( \angle ABD \) cũng sẽ cạnh hợp với góc vuông \( \angle A \), do đó \( \angle ABD = 45^\circ \).

Tóm lại:
- Chúng ta đã chứng minh \( AB = DC \) và \( AB \parallel BC \).
- Và góc \( ABD \) có thể tính được trong phạm vi tam giác vuông, thoả mãn các tính chất đã đề ra.