Để tìm giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 3 \) đạt cực đại tại \( x = 3 \), ta cần làm những bước sau:

1. **Tính đạo hàm bậc nhất** của hàm số:
\[
y' = x^2 - 2mx + (m^2 - 4)
\]

2. **Giải phương trình \( y' = 0 \)** tại \( x = 3 \):
\[
0 = 3^2 - 2m \cdot 3 + (m^2 - 4)
\]
\[
0 = 9 - 6m + m^2 - 4
\]
\[
0 = m^2 - 6m + 5
\]

3. **Giải phương trình bậc 2**:
\[
m^2 - 6m + 5 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
m = \frac{6 \pm \sqrt{(−6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}
\]
\[
m = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}
\]
Nghiệm sẽ là:
\[
m = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{2}{2} = 1
\]

4. **Tính đạo hàm bậc hai** để xác định tính chất cực trị:
\[
y'' = 2x - 2m
\]
Đặt \( x = 3 \):
\[
y''(3) = 2 \cdot 3 - 2m = 6 - 2m
\]
Để hàm số đạt cực đại, cần \( y''(3) < 0 \):
\[
6 - 2m < 0 \implies 6 < 2m \implies m > 3
\]

5. **Kết luận**: Khi xét các giá trị \( m = 5 \) và \( m = 1 \):
- \( m = 5 \) thỏa mãn \( m > 3 \), cho nên hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \).
- \( m = 1 \) không thỏa mãn.

Do đó, giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \) là \( m = 5 \).

**Đáp án là C: m = 5**.