Để chứng minh phần b của bài toán, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách xác định một số thông số về hình vuông ABCD và các điểm M, E, F có liên quan.

1. **Thiết lập hệ tọa độ**: Giả sử hình vuông có các đỉnh:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, a) \)
- \( D(0, a) \)

Đường chéo AC có phương trình \( y = x \).

2. **Xác định tọa độ của điểm M**:
Giả sử điểm M nằm trên AC với tọa độ là \( M(m, m) \) với \( 0 \leq m \leq a \).

3. **Tính tọa độ của các điểm E và F**:
- Điểm E là hình chiếu của M lên AD (đường thẳng x = 0), do đó tọa độ của E là \( E(0, m) \).
- Điểm F là hình chiếu của M lên CD (đường thẳng y = a), do đó tọa độ của F là \( F(m, a) \).

4. **Tính toán CE và DN**:
- **Khoảng cách CE** (từ C đến E):
\[
CE = \sqrt{(a - 0)^2 + (a - m)^2} = \sqrt{a^2 + (a - m)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 - 2am + m^2} = \sqrt{2a^2 - 2am + m^2}
\]
- **Tọa độ của N (trung điểm của AM)**:
\( N\) có tọa độ là:
\[
N\left(\frac{0+m}{2}, \frac{0+m}{2}\right) = N\left(\frac{m}{2}, \frac{m}{2}\right)
\]

- **Khoảng cách DN** (từ D đến N):
\[
DN = \sqrt{(0 - \frac{m}{2})^2 + (a - \frac{m}{2})^2} = \sqrt{\left(\frac{m}{2}\right)^2 + \left(a - \frac{m}{2}\right)^2}
\]
\[
= \sqrt{\frac{m^2}{4} + \left(a^2 - am + \frac{m^2}{4}\right)} = \sqrt{a^2 - am + \frac{m^2}{2}}
\]

5. **Chứng minh mối quan hệ CE² = 2*DN²**:
- Giờ ta cần tính \( CE^2 \) và \( 2 DN^2 \) để kiểm tra xem chúng có bằng nhau không.

- Tính \( CE^2 \):
\[
CE^2 = 2a^2 - 2am + m^2
\]

- Tính \( 2DN^2 \):
\[
DN^2 = a^2 - am + \frac{m^2}{2}
\]
nên
\[
2DN^2 = 2(a^2 - am + \frac{m^2}{2}) = 2a^2 - 2am + m^2
\]

Từ hai kết quả trên, ta thấy rằng:
\[
CE^2 = 2DN^2
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( CE^2 = 2DN^2 \).