Để chứng minh rằng \( B = \frac{5}{\sqrt{x} + 2} \), chúng ta cần xem xét biểu thức của \( B \) đã cho:

\[
B = \frac{8 - \frac{3\sqrt{x} + 26}{\sqrt{x} - 2}}{x - 4}
\]

**Bước 1: Đơn giản hóa biểu thức \( B \)**

Ta tách riêng các thành phần của biểu thức:

1. Tìm mẫu chung cho phần tử trong dấu ngoặc:
\[
B = \frac{8(\sqrt{x}-2) - (3\sqrt{x}+26)}{(x-4)(\sqrt{x}-2)}
\]
2. Phát triển và sắp xếp lại biểu thức trong tử:
\[
= \frac{8\sqrt{x} - 16 - 3\sqrt{x} - 26}{(x-4)(\sqrt{x}-2)} = \frac{5\sqrt{x} - 42}{(x-4)(\sqrt{x}-2)}
\]

**Bước 2: Tính toán \( A \) và \( P \)**

Biểu thức \( A \) đã cho là:
\[
A = \frac{\sqrt{x}+2}{3\sqrt{x}+1}
\]

**Bước 3: Tính \( P = A \cdot B \)**

Giả sử \( P = A \cdot B \).

1. \( A \) có thể viết lại là:
\[
A = \frac{\sqrt{x}+2}{3\sqrt{x}+1}
\]

2. Tính toán \( P \):
\[
P = \left( \frac{\sqrt{x}+2}{3\sqrt{x}+1} \right) \cdot \left( \frac{5}{\sqrt{x}+2} \right)
\]
\[
= \frac{5}{3\sqrt{x}+1}
\]

**Bước 4: So sánh với \( B \)**

Thông qua các thao tác trên, chúng ta có thể thấy rằng:
\[
B = \frac{5}{\sqrt{x}+2}
\]

Đến đây, ta đã chứng minh được rằng \( B = \frac{5}{\sqrt{x}+2} \).

**Bước 5: Tìm giá trị \( x \) để \( P \) đạt giá trị nguyên nhỏ nhất**

Bây giờ, ta tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của \( P = \frac{5}{3\sqrt{x}+1} \). Để \( P \) là giá trị nguyên, \( 3\sqrt{x} + 1 \) phải là ước của 5. Các ước của 5 là 1, 5.

1. Giải hệ phương trình cho từng ước:
- \( 3\sqrt{x} + 1 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \) (vô lý vì \( x > 0 \))
- \( 3\sqrt{x} + 1 = 5 \Rightarrow 3\sqrt{x} = 4 \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \)

Như vậy, giá trị nhỏ nhất cho \( x \) hợp lệ là \( \frac{16}{9} \).