Để chứng minh các khẳng định trong bài toán này, ta sẽ đi từng phần một.

a) Xét \( (n + 18) \) và \( (n + 2011) \):

1. **Chứng minh tính chẵn lẻ của \( n + 18 \)**:
- Nếu \( n \) là số chẵn, thì \( n + 18 \) cũng là số chẵn (vì chẵn + chẵn = chẵn).
- Nếu \( n \) là số lẻ, thì \( n + 18 \) là số lẻ (vì lẻ + chẵn = lẻ).

2. **Chứng minh tính chẵn lẻ của \( n + 2011 \)**:
- Nếu \( n \) là số chẵn, thì \( n + 2011 \) là số lẻ (vì chẵn + lẻ = lẻ).
- Nếu \( n \) là số lẻ, thì \( n + 2011 \) cũng là số chẵn (vì lẻ + lẻ = chẵn).

3. **Kết luận**:
- Một số chẵn và một số lẻ sẽ cho tổng là số lẻ, do đó \( (n + 18)(n + 2011) \) sẽ luôn chia hết cho 2.

b) Xét \( n^2 + 2013n \):

1. **Rút gọn biểu thức**:
\[
n^2 + 2013n = n(n + 2013)
\]

2. **Chứng minh tính chẵn lẻ của \( n(n + 2013) \)**:
- Nếu \( n \) là số chẵn, thì cả hai \( n \) và \( n + 2013 \) (lẻ) cho sản phẩm là số chẵn.
- Nếu \( n \) là số lẻ, thì cả hai \( n \) và \( n + 2013 \) (chẵn) cho sản phẩm cũng là số chẵn.

3. **Kết luận**:
- Do đó, \( n^2 + 2013n \) luôn chia hết cho 2.

Vậy cả hai khẳng định đã được chứng minh đúng.