Chứng tỏ rằng 3A + 1; 2B + 1 và C đều là số chính phương

Để chứng minh rằng \( 3A + 1 \), \( 2B + 1 \) và \( C \) đều là số chính phương, ta sẽ tính toán giá trị của \( A \), \( B \) và \( C \) trước, sau đó sử dụng các công thức để tìm các biểu thức cần chứng minh.

**Bước 1: Tính \( A \)**

Ta có:
\[
A = 1 + 2^2 + 2^4 + \ldots + 2^{98}
\]
Đây là một cấp số nhân với công bội là \( 2^2 = 4 \) và số hạng đầu là \( 1 \). Số hạng cuối là \( 2^{98} \).

Số hạng của cấp số nhân này là:
- Số hạng đầu: \( 1 = 2^0 \)
- Số hạng cuối: \( 2^{98} \)
- Số hạng thứ nhất: \( 0 \)
- Số hạng thứ hai: \( 49 \) (khi đi từ \( 0 \) đến \( 98 \) bước 2)

Số hạng: \( \frac{49 + 1}{1} = 50 \)

Tổng của cấp số nhân là:
\[
A = \frac{1 \cdot (4^{50} - 1)}{4 - 1} = \frac{4^{50} - 1}{3}
\]

**Bước 2: Tính \( B \)**

Ta có:
\[
B = 1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{99}
\]
Đây cũng là một cấp số nhân với công bội là \( 3 \) và số hạng đầu là \( 1 \).

Tổng số hạng là \( n = 100 \):
\[
B = \frac{1 \cdot (3^{100} - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{100} - 1}{2}
\]

**Bước 3: Tính \( C \)**

Ta có:
\[
C = 2 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{59}
\]
Gom lại ta có:
\[
C = 2 \times 2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{59} = 2 \cdot (1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{58}) = 2 \cdot \left( \frac{2^{59} - 1}{1} \right)
\]
Nên:
\[
C = 2^{60} - 2
\]

**Bước 4: Tính \( 3A + 1 \), \( 2B + 1 \) và kiểm tra xem chúng có phải là số chính phương không.**

- Tính \( 3A + 1 \):
\[
3A + 1 = 3\left(\frac{4^{50} - 1}{3}\right) + 1 = 4^{50} = (2^{100})^2
\]
Vậy, \( 3A + 1 \) là số chính phương.

- Tính \( 2B + 1 \):
\[
2B + 1 = 2\left(\frac{3^{100} - 1}{2}\right) + 1 = 3^{100} - 1 + 1 = 3^{100} = (3^{50})^2
\]
Vậy, \( 2B + 1 \) là số chính phương.

- Tính \( C \):
\[
C = 2^{60} - 2 = 2^1(2^{59} - 1)
\]
Ta sẽ không thể khẳng định rằng \( C \) là số chính phương trong biểu thức này, vì \( 2^{59} - 1 \) không phải là số chính phương.

Như vậy, \( 3A + 1 \) và \( 2B + 1 \) đều là số chính phương, trong khi đối với \( C \) không thể kết luận.