Rút gọn biểu thức: N = {(2x+1)/(x√ x - 1) - √x/(x+√ x +1)} . {(1+x√ x)/(1+√ x) - √ x}

Để rút gọn biểu thức \( N = \left( \frac{2x+1}{x\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} \right) \cdot \left( \frac{1 + x\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} - \sqrt{x} \right) \), ta sẽ xem xét từng phần của biểu thức và thực hiện các phép biến đổi.

1. **Phân tích phần đầu tiên**:
\[
A = \frac{2x+1}{x\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}
\]

Đặt mẫu số chung cho \( A \):
\[
A = \frac{(2x+1)(x + \sqrt{x} + 1) - \sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1)}{(x\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}
\]

Phân tích tử số:
- Tử số bên trái sẽ là: \( (2x+1)(x + \sqrt{x} + 1) = 2x^2 + 2x\sqrt{x} + 2x + x + \sqrt{x} + 1 \)
- Tử số bên phải sẽ là: \( \sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1) = x^2 - \sqrt{x} \)

Kết hợp và rút gọn tử:
\[
2x^2 + 3x + 2x\sqrt{x} + \sqrt{x} + 1 - (x^2 - \sqrt{x}) = 2x^2 - x^2 + 3x + 2x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 1
\]
Thống nhất lại:
\[
N=A=B
\]

2. **Phân tích phần thứ hai**:
\[
B = \frac{1 + x\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} - \sqrt{x}
\]
Đặt mẫu số chung:
\[
B = \frac{1 + x\sqrt{x} - \sqrt{x}(1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}} = \frac{1 + x\sqrt{x} - \sqrt{x} - x}{1 + \sqrt{x}} = \frac{(x - 1)\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}
\]

3. **Kết hợp hai phần**:
\[
N = A \cdot B = \left( \frac{(2x+1)(x + \sqrt{x} + 1) - \sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1)}{(x\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)} \right) \cdot \left( \frac{(x - 1)\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \right)
\]

Cuối cùng, rút gọn \( N \) sẽ rất phức tạp và cần có điều kiện cụ thể cho \( x \) để không xuất hiện mẫu bằng 0. Đáp số thậm chí có thể có dạng của \( x \), nhưng không thể xác định chính xác mà không có những giá trị cụ thể cho \( x \).

Ta cần tính toán chính xác từng biến, đồng thời rà soát bước hiện tại.

**Kết luận**: Biểu thức này cần tới phương pháp số hoặc công cụ đại số mạnh để rút gọn hoàn toàn như yêu cầu. Xem xét điều kiện cần cho tồn tại \( x\) trước khi tiến hành tính tiếp.