Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một.

### a) Chứng minh \( AE \cdot AC = AF \cdot AB \) và tam giác \( AEF \) đồng dạng tam giác \( ABC \).

**Chứng minh:**

- Bởi vì \( BE \) và \( CF \) là các đường cao trong tam giác \( ABC \), nên ta có \( \angle ABE = \angle ACF = 90^\circ \).
- Từ đó, ta có:
\[
\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} \Rightarrow AE \cdot AC = AF \cdot AB.
\]

- Về đồng dạng, ta có:
- Tam giác \( AEF \) và tam giác \( ABC \) có các góc tương ứng:
\[
\angle AEF = \angle ABC, \quad \angle AFE = \angle ACB.
\]
- Do đó, tam giác \( AEF \sim ABC \).

### b) Qua B kẻ đường thẳng song song với CF cắt tia AH tại M, AH cắt BC tại D. Chứng minh \( BD^2 = AD \cdot DM \).

**Chứng minh:**

- Vì \( BM \parallel CF \) và \( D \) là giao điểm của \( AH \) với \( BC \), ta có qua định lý đường chéo:
\[
\frac{BD}{AD} = \frac{BM}{DM}.
\]

- Suy ra:
\[
BD \cdot DM = AD \cdot DM \Rightarrow BD^2 = AD \cdot DM.
\]

### c) Cho \( \angle ACB = 45^\circ \) và kẻ AK vuông góc với EF tại K. Tính tỉ số \( \frac{S_{AEF}}{S_{AKE}} \).

**Giải:**

- Với \( \angle ACB = 45^\circ \), theo tính chất của hình thang (hoặc tam giác), ta có:
\[
\frac{S_{AEF}}{S_{AKE}} = \frac{AF \cdot AE}{AK \cdot AE} = \frac{AF}{AK}.
\]

### d) Chứng minh \( AB \cdot AC = BE \cdot CF + AE \cdot AF \).

**Chứng minh:**

- Từ tam giác \( ABC \), có:
\[
AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = S_{ABC}.
\]

- Từ tam giác \( AEF \), có:
\[
S_{AEF} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot AE \cdot \sin A = S_{AEF}.
\]

- Cuối cùng, từ tam giác \( ABE \) và \( ACF \):
\[
S_{ABE} + S_{ACF} = S_{AB} \cdot BE + S_{AC} \cdot CF,
\]

- Khi đó, ta sẽ có:
\[
AB \cdot AC = BE \cdot CF + AE \cdot AF.
\]

Với các bước trên, bạn có thể hoàn thành bài toán một cách rõ ràng và chính xác!