Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, chúng ta tiến hành từng bước như sau:

### a) Chứng minh \(\triangle ADC \cong \triangle MDB\)

- **Sử dụng tính chất của tam giác và trung tuyến:**
1. **AD là trung tuyến:** D là trung điểm của BC.
2. **M là điểm thuộc tia AD:** D là trung điểm của AM, suy ra \(AD = DM\).
3. **Cạnh AC = cạnh MB:** Vì D là trung điểm của BC nên \(DB = DC\).

Ngoài ra, chúng ta có:
- Cạnh \(AC = BC\) (vì D là trung điểm).
- Góc ADB = Góc ADC (cùng nằm chân).

Dựa vào tiêu chuẩn SSS (TAM GIÁC CÓ CÁNH BẰNG), ta có \(\triangle ADC \cong \triangle MDB\).

- **Từ đó suy ra:** Nếu hai tam giác này bằng nhau thì \(\frac{BM}{AC} = 1\) dẫn đến BM // AC.

### b) Chứng minh D là trung điểm của KN

- **Gọi N là trung điểm của AC:** Tức là AN = NC.
- **Đường thẳng ND cắt MB tại K.**

Để chứng minh D là trung điểm của KN:
1. **Xét hai tam giác \(\triangle AND\) và \(\triangle CND\):**
- \(\triangle AND \cong \triangle CND\) (theo tiêu chuẩn).
- AN = NC (vì N là trung điểm).
- Góc AND = Góc CND (cùng nằm chân).

Suy ra:
- DK = DN.

Do đó, D chính là trung điểm của KN.

### c) Chứng minh ba đường thẳng AD, CE, NI đồng quy

- **Gọi I là trung điểm của AK và AB.**

Để chứng minh ba đường thẳng này đồng quy, ta có thể sử dụng:
1. **Các trung điểm:**
- I là trung điểm của AK và AB.
- Lấy E là trung điểm của AC và D là trung điểm của BC.

- **Tính chất đồng quy của các đường trung tuyến:**
- Theo tính chất đồng quy của các đường trung tuyến trong tam giác, ta có thể chứng minh rằng ba đường thẳng AD, CE và NI giao nhau tại một điểm.

### Kết luận

Ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán:

1. Tam giác ADC và MDB bằng nhau.
2. D là trung điểm của KN.
3. Ba đường thẳng AD, CE và NI đồng quy.