Cho ΔABC, M, N ∈ cạnh BC, sao cho BA = BM, CA = CN, đường thẳng qua M, N và song song với AB, AC cắt CA, AB tại P, Q. Chứng minh: AP = AQ

Để chứng minh rằng \( AP = AQ \), chúng ta có thể sử dụng các tính chất của tam giác và các cặp đường thẳng song song.

### Chứng minh:
1. **Xét tam giác \( ABC \)**: Gọi \( BA = BM \) và \( CA = CN \) theo giả thiết đã cho.

2. **Vì đường thẳng đi qua \( M \) và \( N \) song song với \( AB \) và \( AC \)**: Khi đó, có hai cặp tam giác đồng dạng.

3. **Cụ thể**: Xét tam giác \( ABM \) và \( ACP \):
- \( \frac{AP}{AB} = \frac{BM}{BA} \)
- Do \( BA = BM \) nên \( \frac{AP}{AB} = 1 \) \( \Rightarrow AP = AB \).

4. **Tương tự cho tam giác \( ACN \) và \( ABQ \)**:
- Có điều tương tự, \( AQ = AC \) với \( AC = CN \).

5. **Vì \( CA = CN \)**: Suy ra \( AP = AQ \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( AP = AQ \).