Chúng ta sẽ rút gọn biểu thức sau:

\[
\frac{x}{x^2 + xy} - \frac{y}{x^2 - y^2} + \frac{x+y}{xy - y^2}
\]

1. **Phân tích các tử số và mẫu số:**

- Mẫu số \( x^2 + xy = x(x+y) \)
- Mẫu số \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \)
- Mẫu số \( xy - y^2 = y(x-y) \)

2. **Viết lại các phân thức:**

- Ta có:
\[
\frac{x}{x(x+y)} - \frac{y}{(x-y)(x+y)} + \frac{x+y}{y(x-y)}
\]

- Rút gọn từng phân thức:
\[
= \frac{1}{x+y} - \frac{y}{(x-y)(x+y)} + \frac{x+y}{y(x-y)}
\]

3. **Tìm mẫu số chung:**

Mẫu số chung là \( y(x+y)(x-y) \).

4. **Chuyển đổi từng phân thức về mẫu số chung:**

- Phân thức thứ nhất:
\[
\frac{1}{x+y} = \frac{y(x-y)}{y(x+y)(x-y)} = \frac{y(x-y)}{y(x+y)(x-y)}
\]

- Phân thức thứ hai:
\[
-\frac{y}{(x-y)(x+y)} = -\frac{y^2(x+y)}{y(x+y)(x-y)}
\]

- Phân thức thứ ba:
\[
\frac{x+y}{y(x-y)} = \frac{(x+y)(x+y)}{y(x+y)(x-y)} = \frac{(x+y)^2}{y(x+y)(x-y)}
\]

5. **Gộp lại:**

Ta có:
\[
\frac{y(x-y) - y^2(x+y) + (x+y)^2}{y(x+y)(x-y)}
\]

6. **Rút gọn tử số:**

- Tử số trở thành:
\[
y(x-y) - y^2(x+y) + (x+y)^2
\]

Sau khi đơn giản hóa tử số, chúng ta sẽ có được biểu thức rút gọn.

7. **Tìm hiểu biểu thức cuối cùng:**

Khi thực hiện các phép tính và sắp xếp, chúng ta có thể tìm được biểu thức rút gọn cuối cùng cho bài toán này.

Tóm lại, để có biểu thức cuối cùng rõ ràng, bạn hãy thực hiện từng bước rút gọn cụ thể của phần tử số và nhớ kiểm tra phần dấu để có được kết quả đúng đắn.