Để giải bất phương trình \((x + 2)^2 + 2(y - 3)^2 < 4\), chúng ta sẽ phân tích từng phần.

1. **Biến đổi bất phương trình:**
Ta có thể viết lại bất phương trình này:
\[
(x + 2)^2 < 4 - 2(y - 3)^2
\]
Lưu ý rằng \(2(y - 3)^2\) phải nhỏ hơn 4 để đảm bảo rằng vế bên phải là dương:
\[
2(y - 3)^2 < 4 \implies (y - 3)^2 < 2 \implies -\sqrt{2} < y - 3 < \sqrt{2}
\]
Hay:
\[
3 - \sqrt{2} < y < 3 + \sqrt{2}
\]

2. **Tính giá trị cụ thể của \(y\) dưới dạng số nguyên:**
Với \(\sqrt{2} \approx 1.414\), ta có:
\[
3 - \sqrt{2} \approx 1.586 \quad \text{và} \quad 3 + \sqrt{2} \approx 4.414
\]
Do đó, \(y\) có thể nhận giá trị nguyên là \(y = 2\), \(y = 3\), hoặc \(y = 4\).

3. **Xét từng giá trị của \(y\) để tìm \(x\):**

- **Khi \(y = 2\):**
\[
(x + 2)^2 + 2(2 - 3)^2 < 4 \implies (x + 2)^2 + 2(1)^2 < 4
\]
\[
(x + 2)^2 + 2 < 4 \implies (x + 2)^2 < 2 \implies -\sqrt{2} < x + 2 < \sqrt{2}
\]
Hay:
\[
-\sqrt{2} - 2 < x < \sqrt{2} - 2
\]
Tính toán được:
\(-3.414 < x < -0.586\), nghĩa là \(x\) có thể là \(-3\), \(-2\), hoặc \(-1\).

- **Khi \(y = 3\):**
\[
(x + 2)^2 + 2(3 - 3)^2 < 4 \implies (x + 2)^2 < 4
\]
Hay:
\[
-2 < x + 2 < 2 \implies -4 < x < 0
\]
Hợp lý cho \(x = -3, -2, -1\).

- **Khi \(y = 4\):**
\[
(x + 2)^2 + 2(4 - 3)^2 < 4 \implies (x + 2)^2 + 2 < 4
\]
\[
(x + 2)^2 < 2 \implies -\sqrt{2} < x + 2 < \sqrt{2}
\]
Tương tự như khi \(y = 2\), ta có:
\(-3.414 < x < -0.586\), tức là \(x = -3, -2, -1\).

4. **Kết hợp kết quả:**
Từ các kết quả trên, ta có các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn bất phương trình:

- Với \(y = 2\): \((-3, 2), (-2, 2), (-1, 2)\)
- Với \(y = 3\): \((-3, 3), (-2, 3), (-1, 3)\)
- Với \(y = 4\): \((-3, 4), (-2, 4), (-1, 4)\)

**Tóm lại, các cặp \((x, y)\) thỏa mãn là:**
\[
(-3, 2), (-2, 2), (-1, 2), (-3, 3), (-2, 3), (-1, 3), (-3, 4), (-2, 4), (-1, 4)
\]