Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước.

### a. Tính độ dài các cạnh MP và NP

**Bước 1:** Sử dụng định nghĩa của cosin trong tam giác vuông.

Ta có:
\[
\cos(\angle MNP) = \frac{MH}{MN}
\]
**Với** \(\cos(\angle MNP) = \frac{12}{13}\) và \(MN = 10 \, \text{cm}\), ta có:

\[
\frac{MH}{10} = \frac{12}{13}
\]

**Bước 2:** Tính độ dài MH.

Giải phương trình trên:
\[
MH = 10 \cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{13} \, \text{cm}
\]

**Bước 3:** Tính độ dài NP bằng định lý Pytago.

Trong tam giác MNP vuông tại M, ta có:
\[
NP^2 = MN^2 + MH^2
\]

Thay các giá trị vào:
- \(MN = 10\)
- \(MH = \frac{120}{13}\)

Tính:
\[
MN^2 = 10^2 = 100
\]
\[
MH^2 = \left(\frac{120}{13}\right)^2 = \frac{14400}{169}
\]

Do đó:
\[
NP^2 = 100 + \frac{14400}{169}
\]

Chuyển đổi 100 sang phân số:
\[
100 = \frac{16900}{169}
\]
Nên:
\[
NP^2 = \frac{16900}{169} + \frac{14400}{169} = \frac{31300}{169}
\]

\[
NP = \sqrt{\frac{31300}{169}} = \frac{\sqrt{31300}}{13}
\]

Tính tiếp \(\sqrt{31300}\):
\[
\sqrt{31300} = \sqrt{100 \times 313} = 10 \sqrt{313}
\]
Vậy:
\[
NP = \frac{10 \sqrt{313}}{13} \, \text{cm}
\]

**Bước 4:** Tính độ dài MP.

Sử dụng định nghĩa sin:
\[
\sin(\angle MNP) = \frac{MP}{MN}
\]
Ta có:
\[
\sin(\angle MNP) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle MNP)} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2}
\]
Tính:
\[
1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}
\]
\(\sin(\angle MNP) = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}\).

Sử dụng định nghĩa của sin:
\[
\frac{MP}{10} = \frac{5}{13}
\]

Giải ra:
\[
MP = 10 \cdot \frac{5}{13} = \frac{50}{13} \, \text{cm}
\]

### tóm lại:
- \(MP = \frac{50}{13} \, \text{cm}\)
- \(NP = \frac{10 \sqrt{313}}{13} \, \text{cm}\)

### b. Tính tan góc EMH

**Bước 1:** Tính độ dài EH và EH.

Gọi E là trung điểm của đoạn NP, nên:

\[
NE = \frac{1}{2} NP = \frac{1}{2} \cdot \frac{10\sqrt{313}}{13} = \frac{5\sqrt{313}}{13} \, \text{cm}
\]

**Bước 2:** Tính độ dài HM.

Sử dụng thuyết Pythagore trong tam giác MNP, vì EMH là một tam giác vuông tại H. Ta có:

\[
EH = \frac{1}{2} NH = HE = NH = \frac{NP}{2}
\]

**Bước 3:** Tính tan góc EMH.

Trong tam giác EMH, ta có:

\[
\tan(EMH) = \frac{HM}{EH}
\]
Trong đó:
- \(HM\) = \(MH = \frac{120}{13}\)
- \(EH = NE = \frac{5\sqrt{313}}{13}\)

\[
\tan(EMH) = \frac{MH}{EH} = \frac{\frac{120}{13}}{\frac{5\sqrt{313}}{13}} = \frac{120}{5\sqrt{313}} = \frac{24}{\sqrt{313}}
\]

### Đáp án:
- a. \(MP = \frac{50}{13} \, \text{cm}\), \(NP = \frac{10\sqrt{313}}{13} \, \text{cm}\)
- b. \(\tan(\angle EMH) = \frac{24}{\sqrt{313}}\)