Để giải bài toán, ta sẽ bắt đầu từ các thông tin đã cho.

### a) Tứ giác APMQ là hình gì ?

Tam giác ABC là tam giác cân tại A, tức là AB = AC.

Gọi M là trung điểm của BC, vì vậy AM là trung tuyến.

Tiếp theo, từ M, ta kẻ đường thẳng MP song song với AC và cắt AB tại P, và kẻ đường thẳng MQ song song với AB cắt AC tại Q.

Do M là trung điểm của BC và AM là trung tuyến, nên trong tứ giác APMQ, ta có:

1. AP = AM (do MP // AC và AM là đường trung bình),
2. MQ = AM (do MQ // AB và AM cũng là đường trung bình).

Do đó, chúng ta có:
- Hai cạnh đối diện là AP và MQ bằng nhau.
- Hai cạnh đối diện là AM và PQ cũng bằng nhau (do tính chất hình bình hành).

Vì vậy, tứ giác APMQ là hình bình hành.

### b) Chứng minh PQ // BC

Ta sẽ chứng minh rằng PQ // BC bằng cách sử dụng tính chất các đường thẳng song song và các góc tương ứng.

1. Từ MP // AC và MA là trung tuyến, suy ra ∠APM = ∠AMC.
2. Từ MQ // AB, suy ra ∠AQM = ∠AMB.
3. Ta cũng nhận thấy rằng tam giác APM và tam giác AMQ có chung đỉnh M và hai cặp góc tương ứng.

Theo định nghĩa của tam giác cân, ta có AM là đường trung bình của BC, nên dòng thẳng BC chia đều các góc tại M.

Bây giờ chúng ta có:
- ∠APM = ∠AMB và ∠AQM = ∠AMC.

Bởi vì hai góc này tương ứng với hai cặp góc tạo thành với các đường thẳng song song là PQ và BC, từ đó có thể suy ra rằng PQ và BC cũng song song (do các góc đồng vị).

Do đó, ta kết luận rằng PQ // BC.

### Kết luận:
- a) Tứ giác APMQ là hình bình hành vì các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- b) PQ // BC do các góc tương ứng khi kẻ các đường thẳng song song.