Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + \ldots + |x - 23| \), ta hãy xem xét một số điểm quan trọng:

1. **Hàm giá trị tuyệt đối**: Biểu thức \( A \) là tổng của các giá trị tuyệt đối. Hàm này có tính chất là đồng đều được tạo ra từ các đoạn thẳng, nên nó sẽ có kiểu hình chữ "V" tại các điểm \( x = 1, 2, \ldots, 23 \).

2. **Tìm giá trị nhỏ nhất**: Để tìm giá trị nhỏ nhất của thuật ngữ tổng quát này, chúng ta chủ yếu quan tâm đến trung bình cộng (hoặc mức trung bình) của các số từ 1 đến 23. Điều này nghĩa là giá trị của \( x \) có thể ở trung tâm của khoảng [1, 23].

Ta có:
\[
\text{Trung bình cộng} = \frac{1 + 2 + 3 + \ldots + 23}{23} = \frac{\frac{23 \cdot (23 + 1)}{2}}{23} = \frac{24}{2} = 12
\]

3. **Tính giá trị tại \( x = 12 \)**:
Chúng ta cần tính giá trị của \( A \) tại \( x = 12 \):
\[
A(12) = |12 - 1| + |12 - 2| + |12 - 3| + \ldots + |12 - 23|
\]
Tính từng phần:
\[
= 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 121
\]

Bởi vì \( A \) là một hàm liên tục và đạt giá trị tối thiểu tại các điểm chuẩn, giá trị nhỏ nhất của \( A \) xảy ra tại \( x = 12 \).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là:
\[
\boxed{121}
\]