Để giải quyết bài toán này, chúng ta xem xét các tam giác và tính chất của chúng. Dưới đây là hướng dẫn chung để thực hiện các bước chứng minh cần thiết:

1. **Kích thước và vị trí**: Xác định các điểm A, B, C trong tam giác ABC và D, M, N trong tam giác DMN. Đảm bảo rằng CA cắt BC tại N.

2. **Định nghĩa các điểm**:
- Gọi IM là trung điểm của AC.
- Gọi IN là trung điểm của AN và DH, EK là các đường vuông góc từ B đến AC và từ D đến BC tương ứng.

3. **Chứng minh độ dài**: Sử dụng các tính chất của các tam giác vuông (Pythagore) và các định nghĩa về trung điểm để chứng minh rằng các đoạn nối và các cạnh của tam giác đồng dạng với nhau khi cần thiết.

4. **Đoạn thẳng và góc**:
- Chứng minh rằng BD = CE, như đề bài đã cho.
- Chứng minh rằng các tam giác mà bạn có được (chẳng hạn như ABD và CEF) có góc tương ứng và cạnh tương ứng.

5. **Sử dụng định lý và tính chất**: Sử dụng các định lý về tam giác vuông và tam giác đồng dạng để hoàn thành phần chứng minh.

Nếu bạn cần làm rõ thêm về các bước cụ thể hoặc cần hướng dẫn cho một phần nào đó, hãy cho tôi biết!