Để chứng minh rằng diện tích của tứ giác MNPQ bằng tổng diện tích của các tứ giác APD và BQC, ta sẽ thực hiện theo các bước như sau:

1. **Xác định vị trí các điểm và công thức diện tích**:
- Gọi A, B, C, D có tọa độ tương ứng là \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \), \( D(x_4, y_4) \).
- Tọa độ trung điểm M của AB là:
\[
M\left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)
\]
- Tọa độ trung điểm N của CD là:
\[
N\left( \frac{x_3+x_4}{2}, \frac{y_3+y_4}{2} \right)
\]

2. **Tìm phương trình của các đường thẳng**:
- Đường thẳng AN có phương trình từ điểm A đến N và đường thẳng DM có phương trình từ điểm D đến M. Tìm giao điểm P của hai đường thẳng này.
- Tương tự, đường thẳng BN và CM cũng được xác định để tìm giao điểm Q.

3. **Tính diện tích tứ giác**:
- Diện tích tứ giác MNPQ có thể được tính bằng công thức diện tích tứ giác dùng tọa độ:
\[
S(MNPQ) = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_4) + x_2(y_4 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) + x_4(y_2 - y_1) \right|
\]
- Tương tự, diện tích tứ giác APD và BQC cũng sẽ được tính bằng công thức trên.

4. **Sử dụng tính chất của tứ giác**:
- Quan sát rằng M và N là trung điểm của AB và CD, vì vậy tứ giác MNPQ có thể được xem như được tạo thành từ các tứ giác APD và BQC.
- Theo định lý về diện tích tứ giác khi có đường chéo nối từ các tam giác vào, diện tích của từng phần sẽ tương ứng với tổng diện tích các tam giác được chia ra.

5. **Chứng minh bằng phương pháp hình học/sử dụng tỷ lệ**:
- Chia tứ giác lớn thành các tứ giác nhỏ hơn dựa trên các đường thẳng AN, BN, CM và DM sẽ cho thấy rằng diện tích MNPQ chính là hợp phần của các diện tích APD và BQC.

Từ tất cả các bước trên, ta có thể kết luận rằng \( S(MNPQ) = S(APD) + S(BQC) \). Điều này chứng minh rằng diện tích của tứ giác MNPQ bằng tổng diện tích của các tứ giác APD và BQC.