Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán:

### a) Chứng minh tứ giác BCPQ là hình thang.

**Chứng minh:**

1. **Căn cứ vào đặc điểm góc:**
- Gọi góc BAP là α và góc PAB là β.
- Vì PA là tia phân giác của góc B, nên có: \( \angle BAP = \angle PAB \)

2. **Xem xét các góc:**
- Góc PQA vuông góc với AH, nên góc PQB cũng vuông góc với AH.
- Do đó, \( \angle PQB = 90^\circ \)

3. **Tính chất của hình thang:**
- Tứ giác BCPQ có hai cạnh BC và PQ vuông góc với đường cao AH nên BCPQ chính là hình thang với hai cạnh BC và PQ song song vì đều cùng vuông góc với AH.

### b) Chứng minh \( BQ = PQ \).

**Chứng minh:**

1. **Cạnh BQ vuông góc với AH:**
- Từ điểm P, ta có đường thẳng PH vuông góc với AH và cắt AB tại Q.

2. **Áp dụng tính chất hình thang:**
- Từ hình thang BCPQ, áp dụng tính chất của hình thang, ta có \( BQ \) và \( PQ \) là hai đáy, do đó \( BQ = PQ \).

### Kết luận:
- Từ hai phần chứng minh trên, ta đã khẳng định tứ giác BCPQ là hình thang và có độ dài hai cạnh BQ và PQ là bằng nhau.