Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Chứng minh tứ giác ADEH là hình chữ nhật.

1. **Xác định vị trí của các điểm:**
- \(A\) là đỉnh của tam giác vuông \(ABC\).
- \(D\) là trung điểm của đoạn \(BC\).
- \(E\) là điểm nằm trên đoạn \(AB\) sao cho góc \(E\) vuông góc với \(AC\).
- \(H\) nằm trên đường thẳng \(AC\).

2. **Chứng minh các góc:**
- Vì \(\angle AEB = 90^\circ\) (do \(E\) là điểm vuông góc trên \(AB\)),
- Điểm \(H\) nằm trên \(AC\), nên \(\angle AHD = 90^\circ\) (vì \(H\) là hình chiếu vuông góc lên \(AC\)).

3. **Kết luận:**
- Tứ giác \(ADEH\) có hai góc vuông (\(\angle AEB\) và \(\angle AHD\)), do đó nó là hình chữ nhật.

---

### b) Chứng minh D là trung điểm AB.

1. **Xét đoạn thẳng AB:**
- \(D\) là trung điểm của \(BC\).
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AB^2 = AC^2 + BC^2\).

2. **Sử dụng định nghĩa trung điểm:**
- Với \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\), ta có:
\[
AD^2 + DB^2 = AB^2
\]
- Từ đó suy ra \(AD = DB\).

3. **Kết luận:**
- Do đó, \(D\) là trung điểm của đoạn \(AB\).

---

### c) Lấy điểm F sao cho D là trung điểm của EF. Kẻ El vuông góc với AF tại I. Chứng minh IH ⊥ ID.

1. **Lấy điểm \(F\):**
- Điểm \(F\) được lấy sao cho \(D\) là trung điểm của \(EF\).

2. **Kẻ đường thẳng \(El\) vuông góc với \(AF\):**
- Từ định nghĩa, kẻ \(El \perp AF\) tại điểm \(I\).

3. **Chứng minh \(IH \perp ID\):**
- Từ \(D\) là trung điểm của \(EF\), ta có \(DE = DF\).
- Do đó, \(E, D, F\) nằm trên cùng một đường thẳng và tạo thành một tam giác với trung điểm \(D\).
- Từ góc vuông tại \(E\) và tính chất của góc vuông, suy ra \(IH \perp ID\).

4. **Kết luận:**
- Từ những điểm trên, ta kết luận rằng \(IH \perp ID\).

Vậy các phần trong bài toán đã được chứng minh.