Để tính bán kính của đường tròn (O) đi qua ba đỉnh của tam giác cân \( \Delta ABC \) tại \( A \), ta có thể sử dụng công thức bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác, được tính theo công thức:

\[
R = \frac{abc}{4S}
\]

Trong đó, \( a, b, c \) là độ dài các cạnh của tam giác, và \( S \) là diện tích của tam giác.

### Bước 1: Tính diện tích \( S \) của tam giác

Ta có cạnh \( BC = a = 36 \, \text{cm} \) và đường cao \( AH = 12 \, \text{cm} \). Diện tích \( S \) của tam giác được tính như sau:

\[
S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 36 \times 12 = 216 \, \text{cm}^2
\]

### Bước 2: Tính độ dài các cạnh \( b \) và \( c \)

Vì tam giác \( \Delta ABC \) là tam giác cân tại \( A \), nên \( b = c \).

Sử dụng chiều cao \( AH \):
- \( BH = \frac{BC}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{cm} \)

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác \( AHB \):

\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
AB^2 = 12^2 + 18^2 = 144 + 324 = 468
\]
\[
AB = \sqrt{468} = 6\sqrt{13} \, \text{cm} \quad (\text{approx } 17.2 \, \text{cm})
\]

Vậy độ dài các cạnh là:
- \( a = 36 \, \text{cm} \)
- \( b = c = 6\sqrt{13} \, \text{cm} \)

### Bước 3: Tính bán kính \( R \)

Giờ cụ thể tính \( R \):

\[
R = \frac{abc}{4S} = \frac{(36)(6\sqrt{13})(6\sqrt{13})}{4 \times 216}
\]

Tính các giá trị:

\[
abc = 36 \times 6\sqrt{13} \times 6\sqrt{13} = 36 \times 6 \times 6 \times 13 = 36 \times 36 \times 13 = 1296 \times 13 = 16788
\]

Giờ chia cho diện tích:

\[
R = \frac{16788}{864} = \frac{16788 \div 36}{864 \div 36} = \frac{466}{24} = \frac{233}{12} \approx 19.42 \, \text{cm}
\]

### Kết luận

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \Delta ABC \) là khoảng \( 19.42 \, \text{cm} \).