Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách chi tiết.

### a) Chứng minh rằng AECF là hình bình hành

Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh AECF là hình bình hành, tức là để chứng minh rằng AE = CF và AC = EF.

- Ta có AE vuông góc với BD và CF cũng vuông góc với BD, nên góc AEB và góc CFD đều là 90 độ.
- Trong hình bình hành ABCD, ta có AB = CD và góc ABD = góc CDB (do tính chất của hình bình hành).
- Do đó, hai tam giác ABE và CFD có:
- AB = CD
- AE = CF (do AE và CF đều vuông góc với BD)
- Góc AEB = Góc CFD = 90 độ

Theo định lý tam giác đồng dạng, chúng ta có:
\[
\triangle ABE \cong \triangle CFD
\]
Từ đó suy ra AE = CF.

Tiếp theo, ta chứng minh AC = EF. Vì AC là đường chéo của hình bình hành và EF là đoạn thẳng nối hai điểm giữa AE và CF, do đó theo định nghĩa, EF sẽ song song và bằng với AC.

Như vậy, ta có:
- AE = CF
- AC = EF

Từ đó, kết luận rằng AECF là hình bình hành.

### b) Chứng minh rằng AQ song song với CP

P là trung điểm của AB và Q là trung điểm của CD.

- Ta có AP = PB và CQ = QD (do P và Q là trung điểm).
- Vì AE và CF vuông góc với BD, tức là BD cắt AE và CF theo đường trung bình của cả hai đoạn thẳng.
- Về mặt hình học, khi một đường thẳng cắt hai đoạn thẳng với tỉ lệ bằng nhau, thì nó song song với đường nối hai điểm giữa của hai đoạn thẳng đó.

Do AECF là hình bình hành, nên AE // CF và :
\[
AP = PB \Rightarrow AQ = AP \quad (Q là trung điểm của CD)
\]

Tương tự với đoạn CP, ta có:
\[
CQ = QD \quad (P là trung điểm của AB)
\]

Do đó, AQ song song với CP.

### c) AP và CP chia đường chéo BD thành 3 phần bằng nhau

Ta sẽ chứng minh rằng điểm A, P, C chia đoạn BD này thành ba phần bằng nhau, tức là BD được chia thành 3 đoạn bằng nhau.

- Chúng ta đã chứng minh rằng AECF là hình bình hành, do đó BD cũng là đường chéo chia làm hai đoạn bằng nhau.
- Khi P là trung điểm của AB, ta có:
\[
AP = PB
\]
- Tương tự, vì C và D là hai điểm đối xứng qua đường chéo BD từ A và B, nên CP cũng bằng với PD.

Vì BD được chia đều giữa A và C qua điểm P và Q, ta có:
\[
AP = PQ = QC
\]

Vì vậy, chúng ta có đoạn BD được chia thành ba phần bằng nhau là AP, PQ và QC.

#### Kết luận:
- Hình AECF là hình bình hành.
- AQ và CP là song song.
- Đường chéo BD được chia thành ba phần bằng nhau bởi AP và CP.