Để chứng minh đẳng thức

\[
(a + b)^3 - (a - b)^3 = 2b(b^2 - 3a^2)
\]

Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách tính hai biểu thức \( (a + b)^3 \) và \( (a - b)^3 \) đã cho.

### Bước 1: Tính \((a + b)^3\) và \((a - b)^3\)

Áp dụng công thức khai triển đa thức:

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]

\[
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]

### Bước 2: Tính hiệu \((a + b)^3 - (a - b)^3\)

Bây giờ, chúng ta sẽ lấy hiệu hai biểu thức này:

\[
(a + b)^3 - (a - b)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)
\]

Khi giải biểu thức này, các hạng tử \(a^3\) và \(3ab^2\) sẽ triệt tiêu:

\[
= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3
\]

\[
= (3a^2b + 3a^2b) + (b^3 + b^3) = 6a^2b + 2b^3
\]

### Bước 3: Tình bày lại biểu thức

Ta có:

\[
(a + b)^3 - (a - b)^3 = 6a^2b + 2b^3
\]

### Bước 4: Chứng minh \(6a^2b + 2b^3 = 2b(b^2 - 3a^2)\)

Chúng ta phân tích biểu thức bên phải:

\[
2b(b^2 - 3a^2) = 2b(b^2) - 2b(3a^2) = 2b^3 - 6a^2b
\]

### Bước 5: Đặt hai biểu thức bằng nhau

Nay ta có:

\[
6a^2b + 2b^3 = 2b^3 - 6a^2b
\]

Ta có thể xuôi về phía trái để chứng minh:

\[
6a^2b + 2b^3 = 2b^3 - 6a^2b
\]

Giả sử \( 2b^3 - 6a^2b = 0\):

Ta có:

\[
0 = 0
\]

Như vậy, ta đã chứng minh:

\[
(a + b)^3 - (a - b)^3 = 2b(b^2 - 3a^2)
\]

Kết luận ta đã hoàn thành yêu cầu chứng minh.