Để giải phương trình \(x^2 + 3x + 7y^2 + 6xy - 12x - 20y = 0\), ta có thể sắp xếp lại để rõ hơn:

\[
x^2 + (6y - 12)x + (7y^2 - 20y) = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai theo biến \(x\). Để tìm nghiệm \(x\), ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = 6y - 12\) và \(c = 7y^2 - 20y\). Để có nghiệm thực cho \(x\), điều kiện cần là delta \(D\) phải không âm:

\[
D = b^2 - 4ac = (6y - 12)^2 - 4(1)(7y^2 - 20y)
\]

Tính delta:

\[
D = (6y - 12)^2 - 28y^2 + 80y
\]

Tính \(D\):

\[
D = 36y^2 - 144y + 144 - 28y^2 + 80y
\]
\[
D = (36y^2 - 28y^2) + (-144y + 80y) + 144
\]
\[
D = 8y^2 - 64y + 144
\]

Tiếp theo, để delta lớn hơn hoặc bằng 0, ta giải bất phương trình:

\[
8y^2 - 64y + 144 \geq 0
\]

Chia cả phương trình cho 8:

\[
y^2 - 8y + 18 \geq 0
\]

Tính delta để xác định các nghiệm của phương trình bậc hai này:

\[
\Delta' = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 64 - 72 = -8
\]

Vì \(\Delta' < 0\), phương trình \(y^2 - 8y + 18\) không có nghiệm thực, nên luôn dương. Vậy bất phương trình luôn đúng:

\[
y^2 - 8y + 18 \geq 0 \quad \forall y \in \mathbb{Z}
\]

Vậy chúng ta sẽ tìm các giá trị nguyên cho \(y\) và tương ứng với nó giải phương trình \(x\).

Giả sử các giá trị của \(y\) có thể là từ \(y = 0\) đến \(y = 10\) (có thể thay đổi khoảng này), ta thay vào phương trình và tìm nghiệm \(x\).

1. **Với y = 0**:
\[
x^2 - 12x = 0 \implies x(x-12) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 12
\]

2. **Với y = 1**:
\[
x^2 - 6x - 13 = 0 \implies x = 3 \pm \sqrt{22} \text{ (không nguyên)}
\]

3. **Với y = 2**:
\[
x^2 - 12x + 10 = 0 \implies D = (-12)^2 - 4*1*10 = 144 - 40 = 104 \implies x = 6 \pm \sqrt{26} \text{ (không nguyên)}
\]

4. **Với y = 3**:
\[
x^2 + 6x - 12 = 0 \implies D = 36 + 48 = 84 \text{ (có nghiệm nguyên)}
\]

Lặp như vậy cho các giá trị khác của \(y\), bạn sẽ tìm ra các cặp \((x, y)\) nguyên thỏa mãn phương trình ban đầu.

Vì vậy, ta cần giải cụ thể cho từng giá trị của \(y\) và kiểm tra xem \(x\) có phải là số nguyên hay không. Sau đó ghi lại các cặp \((x, y)\) thỏa mãn.