Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 - 4x + 9y^2 + 16y + 13 \), chúng ta sẽ hoàn thành bình phương cho từng biến \( x \) và \( y \).

**Bước 1: Hoàn thành bình phương cho \( x \)**

Biểu thức cho \( x \):
\[
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
\]

**Bước 2: Hoàn thành bình phương cho \( y \)**

Biểu thức cho \( y \):
\[
9y^2 + 16y = 9(y^2 + \frac{16}{9}y)
\]
Để hoàn thành bình phương, ta cần thêm và bớt \((\frac{16}{18})^2 = \frac{64}{81}\):
\[
y^2 + \frac{16}{9}y = \left( y + \frac{8}{9} \right)^2 - \frac{64}{81}
\]

Vậy:
\[
9y^2 + 16y = 9 \left( \left( y + \frac{8}{9} \right)^2 - \frac{64}{81} \right) = 9 \left( y + \frac{8}{9} \right)^2 - 8
\]

**Bước 3: Thay lại vào biểu thức \( A \)**

Thay các kết quả vào biểu thức \( A \):
\[
A = (x - 2)^2 - 4 + 9 \left( y + \frac{8}{9} \right)^2 - 8 + 13
\]
\[
= (x - 2)^2 + 9 \left( y + \frac{8}{9} \right)^2 + 1
\]

**Bước 4: Xác định giá trị nhỏ nhất**

Biểu thức trên có dạng:
\[
A = (x - 2)^2 + 9 \left( y + \frac{8}{9} \right)^2 + 1
\]
Trong đó, \((x - 2)^2 \geq 0\) và \(9 \left( y + \frac{8}{9} \right)^2 \geq 0\) với giá trị nhỏ nhất khi:
\[
(x - 2)^2 = 0 \quad \text{và} \quad 9 \left( y + \frac{8}{9} \right)^2 = 0
\]
Điều này xảy ra khi:
\[
x = 2 \quad \text{và} \quad y = -\frac{8}{9}
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:
\[
A_{\text{min}} = 0 + 0 + 1 = 1
\]

**Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là** \( \boxed{1} \).