Để giải phương trình \(3x^2 + 7y^2 + 6xy - 12x - 20y = 0\) với \(x, y \in \mathbb{Z}\), chúng ta sẽ sắp xếp lại phương trình và phân tích nó.

Trước hết, ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
3x^2 + 6xy + 7y^2 - 12x - 20y = 0.
\]

Đây là một phương trình bậc hai theo \(x\). Chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\), với các hệ số:

- \(a = 3\),
- \(b = 6y - 12\),
- \(c = 7y^2 - 20y\).

Tính discriminant (định thức) \(D\) của phương trình này:

\[
D = (6y - 12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (7y^2 - 20y).
\]

Tính giá trị của \(D\):

\[
D = (6y - 12)^2 - 12(7y^2 - 20y),
\]
\[
= 36y^2 - 144y + 144 - 84y^2 + 240y,
\]
\[
= -48y^2 + 96y + 144.
\]

Để đảm bảo phương trình có nghiệm, \(D\) phải không âm:

\[
-48y^2 + 96y + 144 \geq 0.
\]

Chia cả hai vế cho -48 (đảo dấu) ta có:

\[
y^2 - 2y - 3 \leq 0.
\]

Phương trình bậc hai này có nghiệm tại:

\[
y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} = 3 \text{ hoặc } -1.
\]

Do đó, bất phương trình này có nghiệm trong khoảng:

\[
-1 \leq y \leq 3.
\]

Bây giờ ta sẽ xem xét từng giá trị của \(y\) trong khoảng này và tìm \(x\).

1. **Đối với \(y = -1\)**:

\[
3x^2 + 6(-1)x + 7(-1)^2 - 12x + 20 = 0,
\]
\[
3x^2 - 6x + 7 - 12x + 20 = 0,
\]
\[
3x^2 - 18x + 27 = 0,
\]
\[
x^2 - 6x + 9 = 0 \implies (x - 3)^2 = 0 \implies x = 3.
\]
Kết quả: \( (x, y) = (3, -1) \).

2. **Đối với \(y = 0\)**:

\[
3x^2 - 12x = 0,
\]
\[
3x(x - 4) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 4.
\]
Kết quả: \( (x, y) = (0, 0) \text{ và } (4, 0) \).

3. **Đối với \(y = 1\)**:

\[
3x^2 + 6(1)x + 7(1)^2 - 12x - 20(1) = 0,
\]
\[
3x^2 - 6x - 13 = 0.
\]
Tính định thức:
\[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-13) = 36 + 156 = 192 \text{ (dương, nhưng không là số chính phương)}.
\]
Do đó không có nghiệm nguyên với \(y = 1\).

4. **Đối với \(y = 2\)**:

\[
3x^2 + 12x + 28 - 24 = 0,
\]
\[
3x^2 + 12x + 4 = 0.
\]
Tính định thức:
\[
D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 144 - 48 = 96 \text{ (có số thực nhưng không rõ có nghiệm nguyên)}.
\]

5. **Đối với \(y = 3\)**:

\[
3x^2 + 18x + 63 - 36 = 0,
\]
\[
3x^2 + 18x + 27 = 0 \implies x^2 + 6x + 9 = 0 \implies (x + 3)^2 = 0 \implies x = -3.
\]
Kết quả: \( (x, y) = (-3, 3) \).

Kết quả cuối cùng của nghiệm nguyên \((x, y)\) là:

- \( (3, -1) \)
- \( (0, 0) \)
- \( (4, 0) \)
- \( (-3, 3) \)

Như vậy, các cặp nghiệm nguyên \( (x, y) \) là:
\[
\{(3, -1), (0, 0), (4, 0), (-3, 3)\}.
\]